Sujet fonction exponentielle
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Sujet fonction exponentielle

platine
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20 Mai 2019 à 18:53
Bonjour, je n'arrive pas à faire mon exercice pourriez vous m'éclairer, je m'entraîne pour le bac.
Partie A
On considère la fonction f définie et dérivable sur ]0;+inf[ par: f(x)=xe^-x

1. justifier toute les infos du tableau de variation de f donné ci-après: déjà fait
2. Soit F la fonction définie et dérivable sur ]0;+inf[ par: F(x)= (-x-1)e^-x : déjà fait

Partie B: je n'y arrive pas
Soit a un nombre réel tel que 0<a<1. On considère la droite Da d'équation y=ax et M le point d'intersection de la droite de la droite Da avec la courbe Cf. On note xM l' abscisse du point M.
On note H(a) l'aire, exprimée en unité d'aire, du domaine hachuré sur le graphique ci-dessous, c'est-à-dire du domaine situé sous la courbe Cf, au dessus de la droite Da et entre les droites d'équations x=0 et x=xM.
Le but de cette partie est d'établir l'existence et l'unicité de la valeur de a telle que H(a)=0.5, puis d'étudier un algorithle.

1. Prouver que la droite Da et la courbe Cf ont un unique point d'interdiction M distinct de l'origine.
On admet dans la suite de l'exercice que le point M a pour abscisse xM=-ln a et que la courbe Cf est situé au dessus de la droite Da sur l'intervalle [0;-ln a].

J'ai juste fait: f(x)=ax
Donc xe^-x -ax=0
x(e^-x -a)=0
x=0 et e^-x=a
On sait que 0<a<1, donc l'équation e^-x=a admet une unique solution x=-ln a.
Je n'arrive pas à compléter..

2. Montrer que H(a)=a ln (a)-1/2 a(ln(a))^2 +1-a
Je sais qu'il faut utiliser le calcul intégral mais ... il est vraiment dur là.

3. Soit la fonction H definie sur ]0;1] par:
H(x)= xln(x) - 1/2 x (ln(x))^2 +1-x.
On admet que H est dérivable sur ]0;1] et que son tableau de variation correspond à :
x : 0 1
H : 2barres 1 décroissant 0
Justifier qu'il existe un unique réel alpha E ]0;1[ tel que H(a)=0.5

4. On considère l'algorithme suivant:
Variables : A,B et C sont des nombres
p est un entier naturel
Initialisation: demander la valeur de p
A prend la valeur 0
B prend la valeur 1
Traitement: tant que B-A>10^-p
C prend la valeur (A+B)/2
Si H(C)>0.5
Alors A prend la valeur de C
Sinon B prend la valeur de C
Fin de la boucle Si
Fin de la boucle Tant que
Sortie: Afficher A et B

Que représente les valeurs A et B affichées en sortie de cet algorithme?

5. Donner un encadrement d'amplitude 0.001 de alpha.

Je précise que j'ai le corrigé mais je ne comprends pas.
En espérant que vous ne perdrez pas courage en voyant ce pavé.
Merci d'avance !
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