Théorèmes de Gauss et Bézout

Théorèmes de Gauss et Bézout

I - Enoncés et démonstrations

1 - Théorème de Gauss

Soient a, b et c trois entiers naturels. Si a divise et si a est premier avec b, alors on peut dire que a divise c.
Démontrons ce premier théorème :
On sait que a est premier avec b,...
Théorèmes de Gauss et Bézout

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<h2 class="import_html">I - Enonc&eacute;s et d&eacute;monstrations</h2> <h3 class="import_html">1 - Th&eacute;or&egrave;me de Gauss</h3> <div class="import_html">Soient a, b et c trois entiers naturels. Si a divise <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2339/index_html_43c0680f.png" border="0" alt="" /> et si a est premier avec b, alors on peut dire que a divise c.</div> <div class="import_html"><em class="import_html">D&eacute;montrons ce premier th&eacute;or&egrave;me&nbsp;:</em></div> <div class="import_html">On sait que a est premier avec b, donc <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2339/index_html_75ed9d71.png" border="0" alt="" />.</div> <div class="import_html">On en d&eacute;duit que <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2339/index_html_59320b8b.png" border="0" alt="" />.</div> <div class="import_html">Or, a divise <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2339/index_html_m564ee924.png" border="0" alt="" /> et a divise <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2339/index_html_43c0680f.png" border="0" alt="" />.</div> <div class="import_html">De l&agrave; on en en d&eacute;duit que a est un diviseur commun &agrave; <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2339/index_html_m564ee924.png" border="0" alt="" /> et <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2339/index_html_43c0680f.png" border="0" alt="" />, et donc que a divise bien c.</div> <div class="import_html">La d&eacute;monstration est bien termin&eacute;e.</div> <h3 class="import_html">2 - Identit&eacute; de B&eacute;zout</h3> <div class="import_html">Soient a et b deux entiers naturels et <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2339/index_html_m671794ef.png" border="0" alt="" />. Alors on peut dire qu'il existe des entiers relatifs u et v tels qu'on a&nbsp;: <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2339/index_html_m41b4b39.png" border="0" alt="" />.</div> <div class="import_html"><em class="import_html">D&eacute;montrons cette identit&eacute; :</em></div> <div class="import_html">Soit G l'ensemble des entiers naturels non-nuls de la forme <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2339/index_html_m25fde59f.png" border="0" alt="" /> (o&ugrave; m et n sont des entiers relatifs).</div> <div class="import_html">On peut dire que G est non-vide car a et b appartiennent &agrave; G.</div> <div class="import_html">G est une partie non-vide de <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2339/index_html_m63f73602.png" border="0" alt="" /> donc G admet un plus petit &eacute;l&eacute;ment, not&eacute; D.</div> <div class="import_html">Par d&eacute;finition de G il existe deux entiers relatifs m <sub>0</sub> et n <sub>0</sub> tels que&nbsp;: <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2339/index_html_m5e5fb02b.png" border="0" alt="" />.</div> <div class="import_html">On a par hypoth&egrave;se <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2339/index_html_m671794ef.png" border="0" alt="" /> donc d divise a et d divise b.</div> <div class="import_html">On en d&eacute;duit que d divise D.</div> <div class="import_html">De plus, la division euclidienne de a par D s'&eacute;crit <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2339/index_html_m24da7a53.png" border="0" alt="" /> avec <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2339/index_html_6e4c6ba1.png" border="0" alt="" />.</div> <div class="import_html">Supposons <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2339/index_html_m73f157e3.png" border="0" alt="" />, donc <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2339/index_html_48fe494b.png" border="0" alt="" />.</div> <div class="import_html">D'o&ugrave;&nbsp;: <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2339/index_html_m53363324.png" border="0" alt="" />.</div> <div class="import_html">Donc r appartient bien &agrave; G.</div> <div class="import_html">Or, <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2339/index_html_m44dbb102.png" border="0" alt="" /> et D plus petit &eacute;l&eacute;ment de G.</div> <div class="import_html">Ainsi, par contradiction, <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2339/index_html_68c6666.png" border="0" alt="" /> et D divise a.</div> <div class="import_html">On d&eacute;montrerait de m&ecirc;me que D divise b.</div> <div class="import_html">Donc comme D est diviseur commun &agrave; a et b, on peut dire que D divise <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2339/index_html_m7a18bdc4.png" border="0" alt="" />.</div> <div class="import_html">En conclusion, D divise donc d.</div> <div class="import_html">Comme on a d divise D et D divise d, on en d&eacute;duit que <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2339/index_html_a519469.png" border="0" alt="" />.</div> <div class="import_html">On retrouve bien l'&eacute;quation&nbsp;: <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2339/index_html_m6be1e0b.png" border="0" alt="" />.</div> <div class="import_html">La d&eacute;monstration de l'identit&eacute; est correctement termin&eacute;e.</div> <h3 class="import_html">3 - Th&eacute;or&egrave;me de B&eacute;zout</h3> <div class="import_html">Soient a et b deux entiers naturels non-nuls. On peut dire que a et b sont premiers entre eux si et seulement s'il existe des entiers relatifs u et v tels que <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2339/index_html_m43b2bd53.png" border="0" alt="" />.</div> <div class="import_html"><em class="import_html">D&eacute;montrons ce second th&eacute;or&egrave;me&nbsp;:</em></div> <div class="import_html">Si a et b sont premiers entre eux, on a l'&eacute;galit&eacute; suivante&nbsp;: <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2339/index_html_75ed9d71.png" border="0" alt="" />.</div> <div class="import_html">D'apr&egrave;s l'identit&eacute; de B&eacute;zout, il existe deux entiers relatifs u et v tels qu'on a l'&eacute;galit&eacute; suivante&nbsp;: <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2339/index_html_m43b2bd53.png" border="0" alt="" />.</div> <div class="import_html">R&eacute;ciproquement, soient u et v deux entiers relatifs tels que&nbsp;: <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2339/index_html_m43b2bd53.png" border="0" alt="" />.</div> <div class="import_html">Soit d un diviseur commun &agrave; a et b.</div> <div class="import_html">On a donc d qui divise <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2339/index_html_m53c954d.png" border="0" alt="" /> et <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2339/index_html_7b666397.png" border="0" alt="" />.</div> <div class="import_html">Ainsi, on peut dire que d divise <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2339/index_html_6ed6cc3b.png" border="0" alt="" />.</div> <div class="import_html">C'est-&agrave;-dire que d divise 1, donc par cons&eacute;quence, <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2339/index_html_318a7071.png" border="0" alt="" />.</div> <div class="import_html">Comme <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2339/index_html_318a7071.png" border="0" alt="" />, on en d&eacute;duit bien que a et b sont premiers entre eux.</div> <div class="import_html">La d&eacute;monstration dans les deux sens est bien termin&eacute;e.</div> <h2 class="import_html">II - &Eacute;quations diophantiennes</h2> <h3 class="import_html">1 - D&eacute;finition</h3> <div class="import_html">Les &eacute;quations diophantiennes sont des &eacute;quations de la forme&nbsp;: <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2339/index_html_m60e51a13.png" border="0" alt="" /> avec a, b et c qui sont des entiers naturels et x et y des entiers relatifs.</div> <h3 class="import_html">2 - Exemple de r&eacute;solution</h3> <div class="import_html">Nous souhaitons r&eacute;soudre l'&eacute;quation diophantienne suivante&nbsp;: <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2339/index_html_m56df74e6.png" border="0" alt="" />.</div> <ul class="import_html"> <li class="import_html"> <div class="import_html">On peut dire que 2 et 3 sont premiers entre eux, donc d'apr&egrave;s le th&eacute;or&egrave;me de B&eacute;zout, l'&eacute;quation admet des solutions.</div> </li> <li class="import_html"> <div class="import_html">Le couple <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2339/index_html_117f3ee8.png" border="0" alt="" /> est une solution particuli&egrave;re de l'&eacute;quation.</div> </li> <li class="import_html"> <div class="import_html">On peut donc &eacute;crire la s&eacute;rie de calculs suivante&nbsp;:</div> <ul class="import_html"> <li class="import_html"> <div class="import_html"><img class="import_html" src="../../docs/import_html/2339/index_html_m56df74e6.png" border="0" alt="" /></div> </li> <li class="import_html"> <div class="import_html"><img class="import_html" src="../../docs/import_html/2339/index_html_m1b7739f2.png" border="0" alt="" /></div> </li> <li class="import_html"> <div class="import_html"><img class="import_html" src="../../docs/import_html/2339/index_html_m79f89ddd.png" border="0" alt="" /></div> </li> </ul> </li> <li class="import_html"> <div class="import_html">De la derni&egrave;re &eacute;quation, on en d&eacute;duit que 2 divise <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2339/index_html_5a6d338e.png" border="0" alt="" />.</div> </li> <li class="import_html"> <div class="import_html">Or, 2 est premier avec 3, donc d'apr&egrave;s le th&eacute;or&egrave;me de Gauss, 2 divise <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2339/index_html_330778a9.png" border="0" alt="" />.</div> </li> <li class="import_html"> <div class="import_html">Il existe donc k, entier relatif, tel que&nbsp;: <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2339/index_html_24be0c6a.png" border="0" alt="" />.</div> </li> <li class="import_html"> <div class="import_html">Autrement dit, on a&nbsp;: <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2339/index_html_m2652f90f.png" border="0" alt="" />.</div> </li> <li class="import_html"> <div class="import_html">L'&eacute;quation devient alors&nbsp;: <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2339/index_html_1c0d0d7f.png" border="0" alt="" />.</div> </li> <li class="import_html"> <div class="import_html">On obtient donc&nbsp;: <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2339/index_html_m4797068e.png" border="0" alt="" />.</div> </li> <li class="import_html"> <div class="import_html">V&eacute;rifions cette &eacute;quation&nbsp;:</div> </li> </ul> <div class="import_html"><img class="import_html" src="../../docs/import_html/2339/index_html_54c1e8d7.png" border="0" alt="" /></div> <ul class="import_html"> <li class="import_html"> <div class="import_html">Donc l'ensemble des solutions est&nbsp;: <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2339/index_html_m729c97a8.png" border="0" alt="" />.</div> </li> </ul> <div class="import_html">Le principe de r&eacute;solution est le m&ecirc;me pour les autres &eacute;quations diophantiennes.</div>
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