Théorème de Bézout et Gauss

Théorème de Bézout et Gauss

Pour réussir haut la main votre exercice de spécialité maths lors de votre épreuve du Bac S, notre professeur vous rappelle que vous devez absolument connaître vos théorèmes de Gauss et Bézout. Prenez donc le temps de télécharger gratuitement...

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Pour réussir haut la main votre exercice de spécialité maths lors de votre épreuve du Bac S, notre professeur vous rappelle que vous devez absolument connaître vos théorèmes de Gauss et Bézout. Prenez donc le temps de télécharger gratuitement cette fiche de révision pour bien vous préparer et arriver sereins à l'épreuve du Bac !

 

I - Théorème de Bézout

a et b sont deux naturels non nuls. Dire que « a et b sont premiers entre eux » équivaut à dire que : « il existe deux entiers relatifs u et v tels que:
(ou, a et b sont 2 nombres premiers entre eux signifie  qu'il existe deux relatifs u et v tels que :)
a*u + b*v = 1

1 - Démonstration

  1. Supposons d'abord qu'il existe deux relatifs u et v tels que : a*u + b*v =1
Prouvons alors que a et b sont premiers entre eux:
Soit g le pgcd de a et de b : il divise a et b, donc tout nombre au + bv avec u et v entiers.
Donc g divise 1 ; donc g=1 et a et b sont premiers entre eux.


  1. Réciproquement : a et b sont premiers entre eux ; prouvons que 1 s'écrit au + bv.
    Soit l'ensemble E de tous les nombres au+bv, avec u et v dans Z .


E contient a car : a = a*1 + b*0.
Donc E contient des entiers strictement positifs, et parmi ceux-ci, il en est un plus petit que tous les autres.
Appelons-le : m = a*u 1 + b*v 1

Le but est de prouver que m = 1.
Effectuons la division de a par m :
a = (a*u 1+b*v 1)*q+r
(avec 0?r
On a alors : r=a*(1-q*u 1) + b*(-q*v 1)
r est donc de la forme a*u + b*v avec u et v dans Z.
Donc : 0?r ? E.
Or : m est le plus petit entier de E strictement positif ; donc : 0 < r < m est impossible.
Donc r = 0 ; dans ce cs : a=m*q.
Et m divise a.
De même, si l'on effectue la division de b par m : b=m*q+r' avec 0?r'D'où : r' = b-(a*u 1 + b*v 1)*q = a*(-u 1*q)+ b*(1- v 1* q)
Donc r' ? E .
Donc en raisonnant comme ci-dessus : r'=0 donc m divise b.
Mais a et b sont premiers entre eux. Donc m=1

2 - Caractérisation du pgcd :

a ; b et g sont des entiers strictement POSITIFS. Ces trois propositions sont EQUIVALENTES.
1- g est le pgcd de a et de b
2- g est un diviseur de a et de b, et les entiers naturels a/g et b/g sont
premiers entre eux.
3- g est un diviseur de a et b ; et il existe deux entiers relatifs u et v tels que : au + bv = g

3 - a et b sont des entiers strictement POSITIFS

g = pgcd (a ; b) et m= ppcm (a ;b).
1- m*g = a * b
2- Tout multiple commun à a et b est un multiple de m.
g est le pgcd de a et b.
Donc : a = g* a' et b = g* b' avec a' et b' premiers entre eux.
Soit M un multiple commun à a et b :
M= a*p et M= b*q avec p et q entiers.

Donc : M = g*a'*p = g*b'*q et a'*p = b'*q
? Cette égalité prouve que a' divise b'*q.
Puisque a' et b' sont premiers entre eux :
a' divise q (th. De Gauss)
D'où : q = a' *k
En tenant compte de l'égalité précédente : a' *p = b' *a' *k soit p = k*b'
Donc tout multiple commun à a et b s'écrit : M=g*a'*p=g*a'*k*b'
Réciproquement :
Démontrons que tout nombre qui s'écrit M=k*g*a'*b' est un multiple commun de a et b.
M = k*(g*a')*b' = k*b'*a
de même: M = k*(g*b')*a'= k*a'*b
Ainsi, les multiples communs à a et b sont les multiples de g a' b'.
Le plus petit de tous est donc g*a'*b'.
D' où: m*g = g*a'*b'*g = a*b
Et tout multiple de a et b est bien multiple de m.

II - Théorème de GAUSS 

a, b et c sont des entiers.
Si a divise b*c et a premier avec b alors a divise c.

1 - Démonstration

Il existe u et v tels que :
a*u + b*v = 1
?on multiplie par c ? a*u*c + b*v*c = c

Or : a divise a*c*u et on fait pour hypothèse a divise b*c, (donc b*c*v)
Donc : a divise la somme a*c*u + b*c*v d'où  a divise c.
Le théorème de GAUSS peut s'énoncer en disant que si un naturel divise un produit de 2 facteurs, et s'il est premier avec l'un d'eux, il divise l'autre.

2 - Corollaire

Si un naturel n est divisible par 2 naturels a et b premiers entre eux, alors il est divisible par leur produit.



Démonstration :

n = a*p (p ? N)
n = b*q (q ? N)
D'où : a*p = b*q : b divise a*p et est premier avec a : il divise p
d'où p= b*p' (p' ? N)
On a donc : n = a * p = a*b*p' : n est donc divisible par a*b


Ce résultat s'étend facilement par récurrence au cas de plusieurs facteurs :
Si n est divisible par plusieurs nombres premiers entre eux 2 à 2, alors n est divisible par leur produit.

Exemples :

-Si n est divisible par 3 et 8, il est divisible par 24. Donc pour prouver qu'un nombre est divisible par 24, il suffit de prouver qu'il est divisible par 3 et 8.
-Si un nombre est divisible par 3, 5 et 8 :
il est divisible par 3*5*8 = 120, car 3 ; 5 et 8 sont premiers entre eux.


Equation diophantienne du premier degré :

a*x + b*y = c
Théorème : a et b sont deux entiers, ainsi que C.
a et b ne sont pas nuls.


Si : pgcd(a ;b) divise c
Alors : il y a un INFINITE de solutions
Si : pgcd(a ;b) ne divise pas c
Alors : il n'y a pas de solution entière
On en déduit que l'équation admet au moins une solution si et seulement si pgcd(a ;b) divise c.
Fin de l'extrait

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Les avis sur ce document

sid04
5 5 0
20/20

cours bien expliqué on comprend très vite je commence à aimer les maths ! continuez comme sa

par - le 11/02/2017

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