Suite de matrices colonnes

Suite de matrices colonnes

Cette fiche de révisions aborde un chapitre important en spécialité mathématiques : suite de matrices colonnes. Notre professeur l'a rédigée et vous la propose gratuitement pour vous permettre de réviser en toute sérénité.

 

I - Introduction

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Le contenu du document

Cette fiche de révisions aborde un chapitre important en spécialité mathématiques : suite de matrices colonnes. Notre professeur l'a rédigée et vous la propose gratuitement pour vous permettre de réviser en toute sérénité.

 

I - Introduction

Dans un certain nombre d'exercices, faire intervenir des matrices permet de résoudre plus facilement et plus rapidement le problème, la notion de « suite de matrice » entre alors en jeu notamment lorsqu'il s'agit d'étudier la convergence d'une suite.

II - Suite de matrice colonne 

CAS 1 :
Lorsque l'on écrit un système linéaire simple de suites à l'aide de matrice on obtient alors l'expression sous cette forme :
Avec
  • U n une matrice colonne à p lignes (n et p sont des entiers non nuls).
  • A une matrice carrée d'ordre p.
En général, l'intérêt dans une suite est de savoir calculer U n en fonction de n, ici grâce à la représentation matricielle.Si l'on sait calculer A n, on peut exprimer facilement U n en fonction de n :
CAS 2 :
Dans un système linéaire un peu plus complexe on peut observer (après transformation sous forme matricielle) l'égalité suivante :
Avec :
  • Une matrice colonne U n à p lignes (n et p sont des entiers non nuls).
  • A une matrice carrée d'ordre p.
  • B une matrice colonne à p lignes.
Là encore on veut obtenir l'expression de U n en fonction de n, pour cela on utilisera une des deux méthodes :
Méthode 1 :
Soit X une matrice colonne de p lignes qui vérifie l'expression X=AX+B.
On place sous notre problème(mis sous forme matricielle) l'expression de X
On obtient donc :
Et on soustrait membre à membre :
A présent on pose V n=U n-X pour obtenir l'expression de V n+1 en fonction de V n, ce qui nous donne :
Et l'on obtient l'expression recherchée :
Méthode 2 :
Soit l'expression du problème sous la forme suivante :
On peut également l'écrire :
Ce qui équivaut à écrire :
Par récurrence on montre que pour tout n?0 :

III - Suite de matrice colonne : Limite

1 - Définition 

On dit qu'une suite de matrices converge vers une matrice limite L si et seulement si les coefficients de la matrice convergent respectivement vers les coefficients de la matrice limite L

2 - Méthode 

  1. On exprime le problème linéaire sous forme d'une suite de matrice colonne.
  2. On exprime U n en fonction de n
  3. On étudie la limite des coefficients de Un
Les suites de Fibonacci 
On définit la suite de Fibonacci :
On écrit la suite sous format matricielle :
Avec la matrice A :
On remarque que A peut s'écrire sous la forme d'un produit de matrice PDP -1
Où :
On peut donc appliquer un raisonnement par récurrence qui nous donnerait l'égalité suivante :
Or on a vu que : A= PDP -1
Donc on a A n :
D'où :
On en déduit pour tout n?2 :
Remarque : Dans cet exemple nous avons écrit le terme général de la suite de Fibonacci de premiers termes 1 et 1, comme une combinaison linéaire des termes de deux suites géométriques.
Mais cet exemple peut se généraliser, il est en effet possible d'adapter les calculs à toute suite U n si :
  • On connait la valeur des deux premiers termes
  • Il existe deux nombres réels a et b tels que pour tout n?0 :
.
  • La matrice associée soit diagonalisable (dans l'exemple de Fibonacci, la matrice associée est A)
Fin de l'extrait

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