Plus Petit Commun Multiple (PPCM)

Plus Petit Commun Multiple (PPCM)

Soient a et b deux entiers naturels non-nuls. On note l'ensemble des multiples strictement positifs de a. C'est-à-dire : . Alors, est l'ensemble des multiples communs à a et b strictement positifs. De plus, est non-vide puisqu'il...
Plus Petit Commun Multiple (PPCM)

Quiz de Spé Mathématiques :

Quel est le PGCD de 31 et 18 ?

  • A.15
  • B.12
  • C.1
  • D.13
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<div class="import_html">Soient a et b deux entiers naturels non-nuls. On note <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2337/index_html_ea86e9f.png" border="0" alt="" /> l'ensemble des multiples strictement positifs de a. C'est-&agrave;-dire&nbsp;: <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2337/index_html_m4b44867a.png" border="0" alt="" />. Alors, <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2337/index_html_6e6deb69.png" border="0" alt="" /> est l'ensemble des multiples communs &agrave; a et b strictement positifs. De plus, <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2337/index_html_6e6deb69.png" border="0" alt="" /> est non-vide puisqu'il contient <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2337/index_html_610f11d2.png" border="0" alt="" />. <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2337/index_html_6e6deb69.png" border="0" alt="" /> est une partie non-vide de <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2337/index_html_m63f73602.png" border="0" alt="" />. On note <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2337/index_html_2e7e772f.png" border="0" alt="" /> le plus petit &eacute;l&eacute;ment de <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2337/index_html_6e6deb69.png" border="0" alt="" />. C'est le plus petit commun multiple.</div> <div class="import_html">Voici quelques exemples de PPCM&nbsp;:</div> <ul class="import_html"> <li class="import_html"> <div class="import_html"><img class="import_html" src="../../docs/import_html/2337/index_html_m6b1bb10f.png" border="0" alt="" /></div> </li> <li class="import_html"> <div class="import_html"><img class="import_html" src="../../docs/import_html/2337/index_html_m6d479d67.png" border="0" alt="" /></div> </li> <li class="import_html"> <div class="import_html"><img class="import_html" src="../../docs/import_html/2337/index_html_m74776f57.png" border="0" alt="" /></div> </li> <li class="import_html"> <div class="import_html"><img class="import_html" src="../../docs/import_html/2337/index_html_4057fa53.png" border="0" alt="" /></div> </li> <li class="import_html"> <div class="import_html"><img class="import_html" src="../../docs/import_html/2337/index_html_m3f7faf15.png" border="0" alt="" /></div> </li> </ul> <h2 class="import_html">I - Propri&eacute;t&eacute;s</h2> <div class="import_html">On suppose que a et b d&eacute;signent des entiers naturels non-nuls.</div> <h3 class="import_html">1 - Th&eacute;or&egrave;me 1</h3> <div class="import_html">Tout multiple commun &agrave; a et b est un multiple de leur PPCM.</div> <div class="import_html"><em class="import_html">D&eacute;montrons ce premier th&eacute;or&egrave;me&nbsp;:</em></div> <div class="import_html">Soit <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2337/index_html_m490729a1.png" border="0" alt="" />.</div> <div class="import_html">Soit N un multiple commun &agrave; a et b.</div> <div class="import_html">La division euclidienne de N par m s'&eacute;crit&nbsp;: <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2337/index_html_m16a7c313.png" border="0" alt="" /> avec <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2337/index_html_m4ad80561.png" border="0" alt="" />.</div> <div class="import_html">On sait que a divise N et b divise N, et a divise m et b divise m.</div> <div class="import_html">On en d&eacute;duit que a divise r et b divise r.</div> <div class="import_html">Donc r est un multiple de a et b.</div> <div class="import_html">Or, on a <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2337/index_html_m76180dea.png" border="0" alt="" />.</div> <div class="import_html">On en d&eacute;duit donc que <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2337/index_html_68c6666.png" border="0" alt="" />.</div> <h3 class="import_html">2 - Th&eacute;or&egrave;me 2</h3> <div class="import_html">Soit k un entier naturel non-nul. On peut &eacute;crire l'&eacute;galit&eacute; suivante&nbsp;:</div> <div class="import_html"><img class="import_html" src="../../docs/import_html/2337/index_html_6159599d.png" border="0" alt="" /></div> <div class="import_html"><em class="import_html">D&eacute;montrons ce deuxi&egrave;me th&eacute;or&egrave;me&nbsp;:</em></div> <div class="import_html">Soient <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2337/index_html_m490729a1.png" border="0" alt="" /> et <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2337/index_html_543835b.png" border="0" alt="" />.</div> <div class="import_html">De plus, <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2337/index_html_63dce60.png" border="0" alt="" /> est un multiple commun &agrave; <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2337/index_html_66be062f.png" border="0" alt="" /> et <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2337/index_html_m4136bfe2.png" border="0" alt="" />.</div> <div class="import_html">Or, on a&nbsp;: <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2337/index_html_46176f40.png" border="0" alt="" />.</div> <div class="import_html">Et on a M qui est un multiple commun &agrave; <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2337/index_html_66be062f.png" border="0" alt="" /> et <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2337/index_html_m4136bfe2.png" border="0" alt="" />.</div> <div class="import_html">Donc on peut dire que <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2337/index_html_m1cf87abb.png" border="0" alt="" /> est un multiple commun &agrave; a et b.</div> <div class="import_html">Donc on en d&eacute;duit&nbsp;: <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2337/index_html_3d48789c.png" border="0" alt="" />.</div> <div class="import_html">On peut ainsi en conclure que <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2337/index_html_m46320928.png" border="0" alt="" />.</div> <h3 class="import_html">3 - Cons&eacute;quence</h3> <div class="import_html">Si k divise a et b, alors on peut dire&nbsp;: <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2337/index_html_449d6f4d.png" border="0" alt="" />.</div> <h3 class="import_html">4 - D&eacute;finition</h3> <div class="import_html">Si a et b sont des entiers relatifs, alors on a l'&eacute;galit&eacute; suivante&nbsp;:</div> <div class="import_html"><img class="import_html" src="../../docs/import_html/2337/index_html_5332eaac.png" border="0" alt="" />.</div> <h2 class="import_html">II - D&eacute;composition en facteurs premiers, PGCD, PPCM</h2> <h3 class="import_html">1 - Exemples</h3> <div class="import_html">Prenons quelques exemples pour m&ecirc;ler les diff&eacute;rentes notions d&eacute;j&agrave; &eacute;tudi&eacute;es&nbsp;:</div> <ul class="import_html"> <li class="import_html"> <div class="import_html"><img class="import_html" src="../../docs/import_html/2337/index_html_1043388e.png" border="0" alt="" /> et <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2337/index_html_4ca41fc4.png" border="0" alt="" /></div> </li> </ul> <div class="import_html">On a donc&nbsp;: <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2337/index_html_m2e794d4.png" border="0" alt="" /></div> <div class="import_html">Et&nbsp;: <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2337/index_html_m4a43dc0d.png" border="0" alt="" /></div> <div class="import_html">On remarque aussi que&nbsp;: <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2337/index_html_m586ada87.png" border="0" alt="" />.</div> <ul class="import_html"> <li class="import_html"> <div class="import_html"><img class="import_html" src="../../docs/import_html/2337/index_html_m43006c77.png" border="0" alt="" /> et <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2337/index_html_6c035f28.png" border="0" alt="" /></div> </li> </ul> <div class="import_html">On a donc&nbsp;: <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2337/index_html_4f76f2f5.png" border="0" alt="" /></div> <div class="import_html">Et&nbsp;: <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2337/index_html_m69ed610d.png" border="0" alt="" /></div> <div class="import_html">L&agrave; encore&nbsp;: <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2337/index_html_m586ada87.png" border="0" alt="" />.</div> <div class="import_html">On peut dire que le PGCD de a et de b est &eacute;gal au produit des facteurs premiers communs aux d&eacute;compositions de a et de b, chacun d'eux &eacute;tant affect&eacute; du plus petit exposant avec lequel il figure dans les deux d&eacute;compositions.</div> <div class="import_html">De plus, le PPCM de a et de b est &eacute;gal au produit des facteurs premiers figurant dans l'une ou l'autre des d&eacute;compositions de a et de b, chacun d'eux &eacute;tant affect&eacute; du plus grand exposant avec lequel il figure dans les d&eacute;compositions.</div> <div class="import_html">Enfin, on peut dire que si a et b sont premiers entre eux, alors&nbsp;on a&nbsp;: <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2337/index_html_1b9e2e9.png" border="0" alt="" />.</div> <h3 class="import_html">2 - Th&eacute;or&egrave;me</h3> <div class="import_html">Comme on peut le supposer &agrave; travers les deux exemples &eacute;nonc&eacute;s ci-dessus, l'&eacute;galit&eacute; correspondant &agrave; l'&eacute;nonc&eacute; du th&eacute;or&egrave;me est la suivante&nbsp;: <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2337/index_html_12664966.png" border="0" alt="" />.</div> <div class="import_html"><em class="import_html">D&eacute;montrons ce th&eacute;or&egrave;me&nbsp;:</em></div> <div class="import_html">Soit <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2337/index_html_222b3e05.png" border="0" alt="" />.</div> <div class="import_html">Alors on a&nbsp;: <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2337/index_html_m2641ac4e.png" border="0" alt="" /> et <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2337/index_html_51d4371e.png" border="0" alt="" /> avec a' et b' qui sont premiers entre eux.</div> <div class="import_html">On pose le calcul suivant&nbsp;: <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2337/index_html_m285f78da.png" border="0" alt="" />.</div> <div class="import_html">On obtient alors&nbsp;: <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2337/index_html_m7e000a11.png" border="0" alt="" />.</div> <div class="import_html">Cette derni&egrave;re &eacute;galit&eacute; nous conduit &agrave;&nbsp;: <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2337/index_html_12664966.png" border="0" alt="" />.</div> <div class="import_html">On a donc bien d&eacute;montr&eacute; le th&eacute;or&egrave;me &eacute;nonc&eacute; ci-dessus.</div>
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