Plus Grand Diviseur Commun (PGCD)

Plus Grand Diviseur Commun (PGCD)

I - Définition

Soient a et b deux entiers naturels. Ils ont au moins un diviseur commun : 1 (et peut-être d'autres diviseurs communs). On appelle le plus grand de leurs diviseurs communs.
Voici quelques exemples de PGCD :
Plus Grand Diviseur Commun (PGCD)

Quiz de Spé Mathématiques :

Quel est le PGCD de 31 et 18 ?

  • A.15
  • B.12
  • C.1
  • D.13
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Le contenu du document

<h2 class="import_html">I - D&eacute;finition</h2> <div class="import_html">Soient a et b deux entiers naturels. Ils ont au moins un diviseur commun&nbsp;: 1 (et peut-&ecirc;tre d'autres diviseurs communs). On appelle <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2333/index_html_m5dd15200.png" border="0" alt="" /> le plus grand de leurs diviseurs communs.</div> <div class="import_html">Voici quelques exemples de PGCD&nbsp;:</div> <ul class="import_html"> <li class="import_html"> <div class="import_html"><img class="import_html" src="../../docs/import_html/2333/index_html_68fd9940.png" border="0" alt="" /></div> </li> <li class="import_html"> <div class="import_html"><img class="import_html" src="../../docs/import_html/2333/index_html_m4d8bf670.png" border="0" alt="" /></div> </li> <li class="import_html"> <div class="import_html"><img class="import_html" src="../../docs/import_html/2333/index_html_m6d537226.png" border="0" alt="" /></div> </li> </ul> <div class="import_html">On peut &eacute;tablir la remarque suivante&nbsp;: si a divise b, alors <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2333/index_html_66d0e5cb.png" border="0" alt="" />.</div> <h3 class="import_html">1 - Lemme d'Euclide</h3> <div class="import_html">Soient a et b deux entiers naturels, avec <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2333/index_html_m424b386b.png" border="0" alt="" />.</div> <div class="import_html">La division euclidienne de a par b s'&eacute;crit&nbsp;: <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2333/index_html_523c704b.png" border="0" alt="" /> avec <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2333/index_html_27f246e.png" border="0" alt="" />.</div> <div class="import_html">Alors on a l'&eacute;galit&eacute; suivante&nbsp;: <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2333/index_html_m1298d57e.png" border="0" alt="" />.</div> <div class="import_html"><em class="import_html">Voici la d&eacute;monstration de ce lemme&nbsp;</em>:</div> <div class="import_html">Soit d un diviseur commun &agrave; a et b.</div> <div class="import_html">De plus, on a&nbsp;: <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2333/index_html_m48d7acfe.png" border="0" alt="" /> d'apr&egrave;s l'&eacute;galit&eacute; <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2333/index_html_523c704b.png" border="0" alt="" />.</div> <div class="import_html">Or, <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2333/index_html_548f2a10.png" border="0" alt="" /> et <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2333/index_html_f8ba136.png" border="0" alt="" /> donc on en d&eacute;duit que <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2333/index_html_m62cbe2f4.png" border="0" alt="" />.</div> <div class="import_html">Ainsi, <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2333/index_html_40311a05.png" border="0" alt="" /> et donc <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2333/index_html_f8ba136.png" border="0" alt="" /> et <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2333/index_html_m1dfbea0f.png" border="0" alt="" />.</div> <div class="import_html">Soit d un diviseur commun &agrave; b et r.</div> <div class="import_html">De plus, on a l'&eacute;galit&eacute; <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2333/index_html_523c704b.png" border="0" alt="" />.</div> <div class="import_html">Or, <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2333/index_html_f8ba136.png" border="0" alt="" /> donc on en d&eacute;duit que <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2333/index_html_m62cbe2f4.png" border="0" alt="" />.</div> <div class="import_html">Et <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2333/index_html_m1dfbea0f.png" border="0" alt="" /> donc on en d&eacute;duit que <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2333/index_html_m475a1bd1.png" border="0" alt="" />.</div> <div class="import_html">Ainsi, <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2333/index_html_548f2a10.png" border="0" alt="" /> et donc <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2333/index_html_548f2a10.png" border="0" alt="" /> et <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2333/index_html_f8ba136.png" border="0" alt="" />.</div> <div class="import_html">La d&eacute;monstration est bien termin&eacute;e&nbsp;: on a prouv&eacute; les deux implications contraires, c'est-&agrave;-dire l'&eacute;quivalence.</div> <h3 class="import_html">2 - Algorithme d'Euclide</h3> <div class="import_html">Soient a et b deux entiers naturels, avec <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2333/index_html_m424b386b.png" border="0" alt="" />.</div> <div class="import_html">L'algorithme d'Euclide consiste &agrave; effectuer une suite de divisions euclidiennes jusqu'&agrave; arriver &agrave; obtenir un dernier reste qui est nul. L'algorithme se termine, c'est-&agrave;-dire qu'il comporte toujours un nombre fini d'&eacute;tapes. Les lignes qui suivent pr&eacute;sentent plus en d&eacute;tails cet algorithme, avec les &eacute;tapes principales de calculs.</div> <div class="import_html">On effectue la division euclidienne de a par b&nbsp;: <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2333/index_html_523c704b.png" border="0" alt="" />, avec <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2333/index_html_27f246e.png" border="0" alt="" />.</div> <div class="import_html">Il y a deux possibilit&eacute;s&nbsp;:</div> <ul class="import_html"> <li class="import_html"> <div class="import_html"><img class="import_html" src="../../docs/import_html/2333/index_html_68c6666.png" border="0" alt="" />, alors <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2333/index_html_m75222312.png" border="0" alt="" /></div> </li> <li class="import_html"> <div class="import_html"><img class="import_html" src="../../docs/import_html/2333/index_html_m73f157e3.png" border="0" alt="" />, alors <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2333/index_html_1bab5441.png" border="0" alt="" /></div> </li> </ul> <div class="import_html">On effectue la division euclidienne de b par r&nbsp;: <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2333/index_html_5a273e8d.png" border="0" alt="" />, avec <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2333/index_html_52d286d2.png" border="0" alt="" />.</div> <div class="import_html">Il y a deux possibilit&eacute;s&nbsp;:</div> <ul class="import_html"> <li class="import_html"> <div class="import_html"><img class="import_html" src="../../docs/import_html/2333/index_html_6081f0e.png" border="0" alt="" />, alors <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2333/index_html_m42920e3d.png" border="0" alt="" /></div> </li> <li class="import_html"> <div class="import_html"><img class="import_html" src="../../docs/import_html/2333/index_html_96ac17b.png" border="0" alt="" />, alors <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2333/index_html_2b6efe1e.png" border="0" alt="" /></div> </li> </ul> <div class="import_html">On continue alors jusqu'&agrave; obtenir un reste nul, c'est-&agrave;-dire <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2333/index_html_m6c3de3cf.png" border="0" alt="" />.</div> <div class="import_html">La valeur du <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2333/index_html_mf73bf8a.png" border="0" alt="" /> est alors le dernier reste non-nul, donc <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2333/index_html_3aea610f.png" border="0" alt="" />.</div> <div class="import_html">Ex&eacute;cutons cet algorithme au travers d'un exemple&nbsp;:</div> <div class="import_html">On veut conna&icirc;tre la valeur de&nbsp;: <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2333/index_html_m5718d5ea.png" border="0" alt="" />.</div> <ul class="import_html"> <li class="import_html"> <div class="import_html"><img class="import_html" src="../../docs/import_html/2333/index_html_1c79332b.png" border="0" alt="" /></div> </li> <li class="import_html"> <div class="import_html"><img class="import_html" src="../../docs/import_html/2333/index_html_103d3838.png" border="0" alt="" /></div> </li> <li class="import_html"> <div class="import_html"><img class="import_html" src="../../docs/import_html/2333/index_html_m48d2d94e.png" border="0" alt="" /></div> </li> <li class="import_html"> <div class="import_html"><img class="import_html" src="../../docs/import_html/2333/index_html_m1f5bb939.png" border="0" alt="" /></div> </li> <li class="import_html"> <div class="import_html"><img class="import_html" src="../../docs/import_html/2333/index_html_45804cd2.png" border="0" alt="" /></div> </li> <li class="import_html"> <div class="import_html"><img class="import_html" src="../../docs/import_html/2333/index_html_m5d1076c8.png" border="0" alt="" /></div> </li> </ul> <div class="import_html">Donc on a le r&eacute;sultat suivant&nbsp;: <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2333/index_html_mb2e28f3.png" border="0" alt="" />.</div> <div class="import_html">On peut &eacute;tablir la remarque suivante&nbsp;: les diviseurs communs &agrave; deux nombres a et b sont les diviseurs de leur PGCD.</div> <h2 class="import_html">II - Propri&eacute;t&eacute;s du PGCD</h2> <div class="import_html"><span style="color: #943634;"><span style="text-decoration: underline;"><strong>Propri&eacute;t&eacute; 1</strong></span></span> <span style="color: #943634;">&nbsp;: </span>Soient a et b deux entiers naturels. Pour tout entier naturel k, on peut dire que <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2333/index_html_m48c5e9a5.png" border="0" alt="" />.</div> <div class="import_html">Dans le cas de l'algorithme d'Euclide, tous les membres des &eacute;galit&eacute;s sont multipli&eacute;s par k.</div> <div class="import_html">Prenons un exemple de cette propri&eacute;t&eacute;&nbsp;:</div> <ul class="import_html"> <li class="import_html"> <div class="import_html"><img class="import_html" src="../../docs/import_html/2333/index_html_m7c158141.png" border="0" alt="" /></div> </li> </ul> <div class="import_html"><span style="color: #943634;"><span style="text-decoration: underline;"><strong>Propri&eacute;t&eacute; 2</strong></span></span> <span style="color: #943634;">&nbsp;: </span>Soient a et b deux entiers naturels. Soit un entier naturel k, un diviseur commun &agrave; a et b. Alors on peut dire que&nbsp;: <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2333/index_html_5c412816.png" border="0" alt="" />.</div> <div class="import_html"><em class="import_html">D&eacute;montrons cette propri&eacute;t&eacute;</em>&nbsp;:</div> <div class="import_html">On a&nbsp;: <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2333/index_html_3934ca7b.png" border="0" alt="" /> et <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2333/index_html_1f9c893d.png" border="0" alt="" />.</div> <div class="import_html">Ainsi, on en d&eacute;duit d'apr&egrave;s la propri&eacute;t&eacute; 1&nbsp;: <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2333/index_html_19f5ef1f.png" border="0" alt="" />.</div> <div class="import_html">Donc nous avons bien&nbsp;: <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2333/index_html_5c412816.png" border="0" alt="" />.</div> <div class="import_html"><span style="color: #943634;"><span style="text-decoration: underline;"><strong>Propri&eacute;t&eacute; 3</strong></span></span> <span style="color: #943634;">&nbsp;: </span>Si a et b sont des entiers relatifs, alors on a : <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2333/index_html_57ada4b0.png" border="0" alt="" />.</div> <div class="import_html">Par exemple, nous avons :</div> <ul class="import_html"> <li class="import_html"> <div class="import_html"><img class="import_html" src="../../docs/import_html/2333/index_html_m20fec51a.png" border="0" alt="" /></div> </li> </ul> <div class="import_html"><span style="color: #943634;"><span style="text-decoration: underline;"><strong>Propri&eacute;t&eacute; 4</strong></span></span> <span style="color: #943634;">&nbsp;: </span>Si <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2333/index_html_1fcff7d0.png" border="0" alt="" />, alors on peut dire que a et b sont premiers entre eux.</div> <div class="import_html"><span style="color: #943634;"><span style="text-decoration: underline;"><strong>Propri&eacute;t&eacute; 5</strong></span></span> <span style="color: #943634;">&nbsp;: </span>Si <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2333/index_html_mb517d54.png" border="0" alt="" />, alors on peut dire que <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2333/index_html_496b1a3e.png" border="0" alt="" /> et <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2333/index_html_5ec6f50a.png" border="0" alt="" /> sont premiers entre eux.</div> <div class="import_html"><em class="import_html">D&eacute;montrons cette propri&eacute;t&eacute;&nbsp;</em>:</div> <div class="import_html">On suppose qu'on a <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2333/index_html_mb517d54.png" border="0" alt="" />.</div> <div class="import_html"><span style="color: #943634;"> </span>Ainsi, d'apr&egrave;s la propri&eacute;t&eacute; 2, on a&nbsp;: <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2333/index_html_2bd87fc2.png" border="0" alt="" />.</div> <div class="import_html">D'apr&egrave;s la propri&eacute;t&eacute; 4, on en d&eacute;duit bien que <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2333/index_html_496b1a3e.png" border="0" alt="" /> et <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2333/index_html_5ec6f50a.png" border="0" alt="" /> sont premiers entre eux.</div>
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