Petit Théorème de Fermat

Petit Théorème de Fermat

I - Théorème

Soit p un entier naturel désignant un nombre premier, et a un entier naturel non divisible par p. Alors on dit que : est divisible par p, c'est-à-dire que : .
La dernière écriture se lit : «  est congru à 1 modulo p »....
Petit Théorème de Fermat

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<h2 class="import_html">I - Th&eacute;or&egrave;me</h2> <div class="import_html">Soit p un entier naturel d&eacute;signant un nombre premier, et a un entier naturel non divisible par p. Alors on dit que&nbsp;: <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2341/index_html_m2a07674.png" border="0" alt="" /> est divisible par p, c'est-&agrave;-dire que&nbsp;: <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2341/index_html_m43376550.png" border="0" alt="" />.</div> <div class="import_html">La derni&egrave;re &eacute;criture se lit&nbsp;: &laquo;&nbsp; <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2341/index_html_m5143f6ef.png" border="0" alt="" /> est congru &agrave; 1 modulo p&nbsp;&raquo;. Autrement dit, le reste dans la division de <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2341/index_html_m5143f6ef.png" border="0" alt="" /> par p est 1.</div> <h2 class="import_html">II - D&eacute;monstration</h2> <div class="import_html">D&eacute;montrons ce th&eacute;or&egrave;me en plusieurs &eacute;tapes&nbsp;:</div> <ul class="import_html"> <li class="import_html"> <div class="import_html">Par hypoth&egrave;se, p est un nombre premier, donc p est premier avec 1, 2, ..., p-1.</div> </li> </ul> <div class="import_html">En effet, sinon p admettrait un diviseur positif autre que 1.</div> <div class="import_html">Donc on peut dire que p est premier avec <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2341/index_html_m3715d60c.png" border="0" alt="" /></div> <ul class="import_html"> <li class="import_html"> <div class="import_html">Soit k un entier tel que <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2341/index_html_m6c525241.png" border="0" alt="" />.</div> </li> </ul> <div class="import_html">Alors le reste r <sub>k</sub> de la division de <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2341/index_html_66be062f.png" border="0" alt="" /> par p est non-nul.</div> <div class="import_html">En effet, si p divise <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2341/index_html_66be062f.png" border="0" alt="" />, alors p divise a car p est premier avec k.</div> <div class="import_html">Or, ceci est impossible car par hypoth&egrave;se a n'est pas divisible par p.</div> <div class="import_html">Donc le reste r <sub>k</sub> de la division de <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2341/index_html_66be062f.png" border="0" alt="" /> par p est bien non-nul.</div> <ul class="import_html"> <li class="import_html"> <div class="import_html">Si k' est un entier distinct de k tel que <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2341/index_html_4cbedc87.png" border="0" alt="" />, alors les restes r <sub>k'</sub> et r <sub>k</sub> des divisions respectives de <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2341/index_html_3e547ca0.png" border="0" alt="" /> et <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2341/index_html_66be062f.png" border="0" alt="" /> par p sont distincts.</div> </li> </ul> <div class="import_html">En effet, si <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2341/index_html_m680f8278.png" border="0" alt="" /> alors p divise <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2341/index_html_m7be520b8.png" border="0" alt="" />, autrement dit p divise <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2341/index_html_m70ca8115.png" border="0" alt="" /> avec <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2341/index_html_1b2fc208.png" border="0" alt="" />, ce qui est impossible car a n'est pas divisible par p.</div> <div class="import_html">Donc les deux restes &eacute;voqu&eacute;s pr&eacute;c&eacute;demment sont distincts.</div> <ul class="import_html"> <li class="import_html"> <div class="import_html">Ainsi, les <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2341/index_html_m2696ecde.png" border="0" alt="" /> restes r <sub>1</sub>, r <sub>2</sub>, ..., r <sub>p-1</sub> des divisions respectives de a, 2a, ..., (p-1)a par p sont donc des entiers naturels non-nuls, strictement inf&eacute;rieurs &agrave; p et tous distincts.</div> </li> </ul> <div class="import_html">Donc on en d&eacute;duit que l'un des restes est &eacute;gal &agrave; 1, un autre &agrave; 2, ..., et un autre &agrave; p-1.</div> <ul class="import_html"> <li class="import_html"> <div class="import_html">Si on utilise le produit des congruences, on a&nbsp;:</div> </li> </ul> <div class="import_html"><img class="import_html" src="../../docs/import_html/2341/index_html_22ebcb18.png" border="0" alt="" /></div> <div class="import_html">En simplifiant, on obtient&nbsp;:</div> <div class="import_html"><img class="import_html" src="../../docs/import_html/2341/index_html_4151896b.png" border="0" alt="" /></div> <ul class="import_html"> <li class="import_html"> <div class="import_html">On en d&eacute;duit que p divise <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2341/index_html_m516268fc.png" border="0" alt="" /> ce qui implique que p divise &eacute;galement <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2341/index_html_3f6a8706.png" border="0" alt="" />.</div> </li> </ul> <div class="import_html">Or, p est premier avec <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2341/index_html_m3715d60c.png" border="0" alt="" /> donc on en d&eacute;duit d'apr&egrave;s le th&eacute;or&egrave;me de Gauss que p divise <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2341/index_html_m2a07674.png" border="0" alt="" />.</div> <ul class="import_html"> <li class="import_html"> <div class="import_html">Le th&eacute;or&egrave;me a donc bien &eacute;t&eacute; d&eacute;montr&eacute; ci-dessus.</div> </li> </ul> <h2 class="import_html">III - Cons&eacute;quence</h2> <div class="import_html">Si p d&eacute;signe un nombre premier et a un entier naturel, alors on peut dire que <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2341/index_html_m749d02f6.png" border="0" alt="" /> est divisible par p. Autrement dit, on a&nbsp;: <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2341/index_html_m11038bdf.png" border="0" alt="" />.</div> <h2 class="import_html">IV - Exemples d'application</h2> <div class="import_html">Voici quelques exemples qui permettent d'illustrer et de voir comment on pourrait utiliser ce qui a &eacute;t&eacute; expliqu&eacute; avant.</div> <ul class="import_html"> <li class="import_html"> <div class="import_html">Quel est le reste de la division de 7 <sup>10</sup> par 11&nbsp;?</div> </li> </ul> <div class="import_html">On peut noter&nbsp;: <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2341/index_html_m6e89edf6.png" border="0" alt="" />.</div> <ul class="import_html"> <li class="import_html"> <div class="import_html">Quel est alors le reste de la division de 7 <sup>2521</sup> par 11&nbsp;?</div> </li> </ul> <div class="import_html">On a&nbsp;: <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2341/index_html_m348f4295.png" border="0" alt="" /> car c'est&nbsp;: <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2341/index_html_4fc5837e.png" border="0" alt="" />.</div> <div class="import_html">On en d&eacute;duit que <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2341/index_html_m2a99a226.png" border="0" alt="" />.</div> <ul class="import_html"> <li class="import_html"> <div class="import_html">Soit a un entier naturel. Montrer que <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2341/index_html_m3f221dac.png" border="0" alt="" /> est divisible par 26.</div> </li> </ul> <div class="import_html">On sait que&nbsp;: <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2341/index_html_d2b9c90.png" border="0" alt="" /> d'apr&egrave;s la cons&eacute;quence du petit th&eacute;or&egrave;me de Fermat.</div> <div class="import_html">Autrement dit, on a&nbsp;: <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2341/index_html_m5571480c.png" border="0" alt="" />.</div> <div class="import_html">De plus, <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2341/index_html_m20838b70.png" border="0" alt="" /> et <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2341/index_html_m140806e9.png" border="0" alt="" /> ont la m&ecirc;me parit&eacute;, donc on peut &eacute;crire&nbsp;: <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2341/index_html_m48cb394b.png" border="0" alt="" />.</div> <div class="import_html">Comme 13 et 2 sont premiers entre eux, on peut en d&eacute;duire qu'on a&nbsp;:</div> <div class="import_html"><img class="import_html" src="../../docs/import_html/2341/index_html_m750c9e8.png" border="0" alt="" /></div> <div class="import_html">Donc <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2341/index_html_m3f221dac.png" border="0" alt="" /> est bien divisible par 26.</div>
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