Nombres Premiers

 

On admet que dans , toute partie non-vide admet un plus petit élément.

I - Généralités

1 - Définition

Un entier naturel p est premier si :
  • p admet exactement 2 diviseurs positifs : 1 et lui-même
Ainsi, on peut déduire de...
Nombres Premiers

Le contenu du document

 

On admet que dans , toute partie non-vide admet un plus petit élément.

I - Généralités

1 - Définition

Un entier naturel p est premier si :
  • p admet exactement 2 diviseurs positifs : 1 et lui-même
Ainsi, on peut déduire de cette définition que 0 et 1 ne sont pas premiers.
De plus, le seul nombre premier pair est 2, car tous les autres nombres pairs sont des multiples de 2.
Voici par exemple les 10 premiers nombres premiers : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.

2 - Théorème 1

Soit a un entier naturel strictement supérieur à 1. Alors a admet au moins un diviseur premier.
Démontrons ce premier théorème :
Soit et .
Il y a deux possibilités :
  • a est premier, donc a admet un diviseur premier : lui-même
  • a n'est pas premier :
Alors a admet au moins un diviseur strictement supérieur à 1.
Soit d le plus petit de ses diviseurs.
Alors d est premier.
En effet, si d n'était pas premier, il admettrait un diviseur d' avec et d' diviserait a, donc d ne serait plus le plus petit diviseur.
Donc dans les deux cas, on en déduit que a admet au moins un diviseur premier.

3 - Remarque

Si a n'est pas premier, il admet un diviseur premier p.
On a alors : et .
De plus, on peut écrire : , avec , ou encore .
Donc on en déduit que : .
En conclusion, on a l'encadrement suivant : .

4 - Tests de primalité

Il existe plusieurs tests de primalité, c'est-à-dire des tests qui permettent de déterminer si un nombre est premier ou non. On peut notamment citer le crible d'Eratosthène, qui est sans doute le plus connu. Ce crible consiste à essayer de faire les divisions successives par tous les nombres premiers inférieurs ou égaux à la racine carrée du nombre en question. Il ne reste à la fin que les nombres premiers inférieurs au nombre recherché au départ.

5 - Théorème 2

L'énonce du théorème est le suivant : il existe une infinité de nombres premiers.
Démontrons ce deuxième théorème :
On va utiliser un raisonnement par l'absurde.
On suppose qu'il existe un nombre fini de nombres premiers, notés : .
On considère le nombre .
N admet un diviseur premier, noté .
Donc divise N et divise , ce qui implique que divise 1.
Or, ceci est impossible, c'est donc contraire à l'hypothèse : il existe bien une infinité de nombres premiers.

II - Décomposition en facteurs premiers

1 - Théorème

Tout entier naturel supérieur ou égal à 2 se décompose en un produit de facteurs premiers. On admet que cette décomposition est unique à l'ordre des facteurs près.
Voici la démonstration de ce théorème :
Soit et .
On peut dire que n admet un diviseur premier , donc : .
Maintenant :
  • soit est premier, et donc la démonstration est terminée.
  • soit n'est pas premier, et donc admet un diviseur premier .
On a alors : , et donc .
Maintenant, soit est premier et on a fini la démonstration, soit n'est pas premier et on continue jusqu'à obtenir premier.

2 - Remarque

Deux entiers naturels a et b supérieurs ou égaux à 2 sont décomposés en produit de facteurs premiers. Alors, b divise a si et seulement si tout facteur premier figurant dans la décomposition de b figure dans celle de a avec un exposant supérieur ou égal à celui qu'il a dans la décomposition de b.
Fin de l'extrait

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