Les Nombres premiers - Spé Mathématiques - Terminale S

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Révisez votre cours sur les nombres premiers en spécialité mathématiques pour réussir votre épreuve du Baccalauréat sans difficulté !

Notre professeur de maths vous propose sa fiche de révision complète et gratuite qui récapitule pour vous les propriétés essentielles du cours et vous propose des exercices corrigés pour mieux comprendre comment maîtriser cette notion.

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Convention : Pour ce chapitre on conviendra que les entiers sont des naturels et les diviseurs ou les multiples sont toujours positifs

Définition

Un nombre, PREMIER est un entier strictement supérieur à 1, qui n'admet pas d'autres diviseurs que lui-même et 1.
Si p est premier D(p)= {1,p}
Un entier non premier est dit COMPOSE
Si d est un diviseur STRICT de a (c'est-à-dire différent de a et de 1), alors : 1
Théorème : Tout entier a, a? 2 admet un nombre premier comme diviseur.

L'ensemble des nombres premiers

Théorème : Il existe une infinité de nombres premiers.
Remarques :

1) Pourquoi 1 n'est pas un nombre premier ?

Par convention, 1 n'est pas un nombre premier. Pourtant, il n'a pas de diviseur strict.
Mais inclure 1 dans l'ensemble des nombres premiers présente plus d'inconvénients que d'avantages.
Par exemple, le théorème sur l'unicité de la décomposition d'un nombre eu facteurs premiers ne serait plus valable

2) Comment se répartissent les nombres premiers dans N ?

La répartition est plutôt anarchique et les mathématiques ne disposent pas d'une fonction donnant la valeur de nième= nombre premier par exemple.
Ils savent cependant que :
* Plus on s'éloigne de 0 ; plus la « densité » des nombres premiers parmi les nombres entiers est faible.
* Si l'on note ?(x) le nombre de nombres premiers inférieurs à un réel x donné, alors la limite de ?(x) est +?.
De plus :
- 0 admet une infinité de nombres non nuls ; donc il n'est pas premier.
- 2 est le seul nombre premier pair.

3) Comment savoir si un nombre N>2 est premier ?

Si N n'est pas premier, alors il admet un diviseur strict d tel que : d ? ?N
Conséquence pratique :
Si l'on veut prouver qu'un nombre est premier, il suffit de s'assurer qu'il n'a pas de diviseur strict inférieur ou égal à N .
Exemple :
N = 197 ? ?N ? 14.035 : inutile de chercher des diviseurs éventuels supérieurs à 14.
Donc tout nombre admet au premier, c'est lui-même s'il est déjà premier, sinon c'est p tel que 2 moins un diviseur 2 ? p ? N

Applications

1) P est premier, différent de 3
Démontrer :
pour tout n : an = 3n+p - 3n+1 est divisible par p.
? La présence des deux puissances de 3 incite à factoriser.
an = 3n+1 (3p-1 -1)
Or, p est premier et 3 est non disponible par p.
Donc, en appliquant le théorème de Fermat :
3p-1-1 est divisible par p.
Ainsi : an est divisible par p.
2) Prouver que, quel que soit le naturel a non nul :
13 - a est divisible par 26
? 26 = 2*13
Or : 2 et 13 sont premiers entre eux.
Il suffit donc de démontrer que a 13 - a est divisible par 2, puis par 13, pour conclure.
Par 2 :
Le reste de la division de a par 2 est 0 ou 1 :
- Si a ? 0 [2] alors a13 ? 0 [2] et a13 - a ? 0 [2]
- Si a ? 1 [2] alors a13 ? 113 ? 1 [2] et a13 - a ? 0 [2]
Par 13 :
13 étant premier, le corollaire permet de dire que a 13 - a est divisible par 13.
Conclusion : a13 - a est divisible par 26.

Aide pour retenir

? Un nombre premier est strictement supérieur à 1
? Si p est un nombre premier et a un naturel quelconque, alors de deux choses l'une : *ou bien p est premier avec a.
*ou bien p divise a.
? D'après le théorème de Gauss : si p premier divise un produit de facteurs, alors il divise au moins l'un d'eux ( et donc si, en outre, ces facteurs sont tous premiers, p est égal à l'un d'eux).
? En particulier, si p est premier, et si p divise an, alors p divise a (n ? N)
Attention : C'est faux si p n'est pas premier !
Ex : p = 54 Donc a3 = 27 000
a = 30 54 divise 27 000, mais 54 ne divise pas 30.
? Si n = p1?1 * p2?2 * ...* pm?m
Tout diviseur de n s'écrit : p1?'1 * p2?'2 * ...* pm?'m et l'exposant ?'i ne dépasse jamais ?'i ne dépasse jamais ?i (il peut lui être égal, mais il peut aussi être nul)
Exemple : n = 23 * 34 * 72 : 23 * 32 est un diviseur de n.
? Penser que deux nombres premiers entre eux ne peuvent pas avoir en commun un diviseur qui est premier.
Une façon pour démontrer que deux nombres sont premiers entre eux, consiste donc à supposer qu'ils ont en commun un diviseur premier, et d'en déduire une contradiction.
? Si on veut prouver qu'un nombre n'est pas premier, un premier réflexe est de démontrer qu'il a un diviseur strict.
Ex : an = n2 - 5n + 6 n'est jamais premier ( n ? 5)
  • an = (n-2)(n-3) : ces deux entiers sont des diviseurs stricts, car aucun des deux n'est égal à 1.

Exercice

n est un entier ; n ? 1 ; a = n13 - n.

a) Prouver que a est pair.

b) Prouver que a est divisible par 13 et 7.

c) En déduire que a est divisible par 182.

a) Prouver que a est pair

Les diviseurs de a et de b sont ceux de d ? 2? * 3?.
Comme a et b ont 6 diviseurs communs : (?+1)(?+1) = 6 avec 0???1 et 0???5. ? = 0 ; ? = 5
d = 35 = 243
a = d*a' avec a' et b' premiers entre eux.
b = d*b'
a + b = 486
243*(a'+ b') = 486
a' + b' = 2
a' = 1 et b' = 1
? a = 243 et b=243 or a
? = 1 ; ? = 2
d = 21 * 32 = 18

b) Prouver que a est divisible par 13 et 7.

a = 18*a'
b = 18*b' avec a' et b' premiers entre eux.
a + b = 486
18*(a'+b') = 486
a'+ b' = 27 avec a' < b'
a*b est un multiple de 10 :
18*a'*18*b' = 10*k
324*a'*b' = 5*2*k
5 ne divise pas b donc 5 ne divise pas b'.
5 divise 324*b'*a'
5 est premier avec 324*b' d'après le théorème de gauss on a 5 divise a'
On peut avoir :
a' 5 10 15 20 25
b' 22 17 12 7 2
Attention :
Ne pas oublier a'
* a'=5 et b'=22 alors a=90 et b=366 mais a>100 !
Donc faux.
* a'=10 et b'=17 alors a= 180 et b=306
S={(180 ;306)}
Fin de l'extrait

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Les avis sur ce document

sid04
5 5 0
20/20

je comprends tout maintenant merci encore de nous aider! vos cours sont bien expliqués

par - le 11/02/2017
FannyJ18
5 5 0
20/20

Bonjour, merci de ton commentaire, l'erreur a été modifiée :)

par - le 26/09/2016
SDUMASP
5 5 0
20/20

Page 6 il manque quelquechose (phrase juste avant EXERCICE)

par - le 15/08/2016

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