Matrices carrées, matrices colonnes, matrices lignes : opérations

Matrices carrées, matrices colonnes, matrices lignes : opérations

Cette fiche de révisions vous est proposée par notre professeur de mathématiques. Elle aborde un chapitre essentiel au programme de la spécialité maths en terminale Scientifique : les matrices carrées, lignes, colonnes : les opérations. A...

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Quiz de Spé Mathématiques :

Quel est le PGCD de 31 et 18 ?

  • A.15
  • B.12
  • C.1
  • D.13
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Le contenu du document

Cette fiche de révisions vous est proposée par notre professeur de mathématiques. Elle aborde un chapitre essentiel au programme de la spécialité maths en terminale Scientifique : les matrices carrées, lignes, colonnes : les opérations. A connaître impérativement pour votre épreuve du Bac S !

 

I - Définition

Soit deux entiers naturels non nuls n et m, une matrice de taille nxm éléments est un tableau rectangulaire de la forme suivante :
On dit que la matrice est de format (n, m).
On note la matrice A comme ci-dessus. On peut également la noter :
La notation représente le coefficient situé à l'intersection entre la ième ligne et la jième colonne. On l'appelle le « coefficient générique de la matrice A »

1 - Une matrice carrée 

Définition :
Si on a n=m on dira que la matrice est carrée de taille n (car elle possède autant de lignes que de colonnes = n lignes pour n colonnes)
On a alors les éléments a 11, a 22, a 33,..., a ii qui sont les éléments diagonaux de la matrice ou encore les éléments de la diagonale principale de la matrice.

2 - Les matrices nulles 

Définition :
Une matrice est dite « matrice nulle » lorsque tous les coefficients de la matrice sont nuls.
En général on écrit 0 les matrices nulles.

3 - Egalité entre les matrices 

Deux matrices A et B ne sont égales que si tous leurs coefficients sont égaux, c'est-à-dire que pour tout i et j on a a ij=b ij.
Attention : Deux matrices nulles ne peuvent pas être égales si elles sont de formats différents.

4 - Matrice identité 

La matrice identité est une matrice carrée d'ordre n dont chacun des coefficients vaut 0 sauf ceux situés sur la diagonale principale. Ceux-ci sont égaux à 1. La matrice identité est noté I n.

II - Les opérations sur les matrices 

1 - Addition sur les matrices

Il est possible d'additionner des matrices entre elles, pour cela il faut cependant vérifier certaines propriétés :
  • Les matrices que l'on veut additionner doivent avoir le même nombre de lignes
  • Les matrices que l'on veut additionner doivent avoir le même nombre de colonnes
On parle alors d'addition de matrice de même format.
Exemple d'addition de deux matrices
A= et B=
C=A+B
C=
Pour tout entier i compris entre 1 et n et j compris entre 1 et m, c ij=a ij+b ij.
Produit d'une matrice par un scalaire
On peut multiplier tous les éléments d'une matrice par un même nombre. On dit alors que l'on multiplie la matrice A par un scalaire (que l'on notera en générale ?) et qui est un nombre réel. On obtient alors une nouvelle matrice ?A qui est le produit de A par ?.
On obtient ?A= ?aij
Exemple : soit
  • ?=2
On obtient une nouvelle matrice ?A :

2 - Produits de matrices

1 - De format (n,m) par des matrices colonnes de format (m,1) :

Détails des calculs :
1x2+2x1+3x3+4x0+5x1=18
6x2+7x1+8x3+9x0+10x1=53
11x2+12x1+13x3+14x0+15x1=88

2 - Produits de matrices lignes de format (1,n) par des matrices de format (n,m) :

Détails du premier calcul :
2x4+4x4+1x9+0x0=33

3 - Produit de matrice carrée (c'est-à-dire au format (n,n)) par elle-même

Détail du calcul :
On multiplie la première ligne avec la première colonne pour trouver le coefficient a 11=0x0+1x1/2+0x0=1/2
On multiplie la seconde ligne par la première colonne pour trouver le coefficient a 21=1/2x0+0x1/2+1/2x0=0
On multiplie la seconde colonne par la première ligne pour trouver le coefficient a 12=0x1+1x0+0x1=0
Et ainsi de suite.
Plus généralement :
Le produit d'une matrice A (format (n,m)) par une matrice B (format (m,p) donne une matrice C de format (n,p) avec ces coefficients c ij valant :
On a donc par exemple le produit d'une matrice (4,7) par une matrice (5,9) qui donne une matrice (4,9).
Matrices carrées d'ordre n :
Le produit pour les matrices carrées d'ordre n n'est pas « commutatif ».
Définition : Une opération * est dite commutative si pour toute paire d'éléments A et B, on a A*B=B*A
Dans le cas de la multiplication d'une matrice A de format (2,2) :
Et d'une matrice B de format (2,2) :
Cela nous donne :
Donc AB?BA.
Fin de l'extrait

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