Matrice inversée d'une matrice carrée

Matrice inversée d'une matrice carrée

Cette fiche de révisions porte sur un chapitre de spécialité mathématiques : Matrice inversée d'une matrice carrée. Elle a été rédigée par notre professeur et vous est proposée gratuitement par digiSchool !

 

I - Définition :

1 - Matrice...

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Quiz de Spé Mathématiques :

Quel est le PGCD de 31 et 18 ?

  • A.15
  • B.12
  • C.1
  • D.13
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Cette fiche de révisions porte sur un chapitre de spécialité mathématiques : Matrice inversée d'une matrice carrée. Elle a été rédigée par notre professeur et vous est proposée gratuitement par digiSchool !

 

I - Définition :

1 - Matrice inversible

Soit A une matrice carrée d'ordre n. On dit que A est une matrice inversible s'il existe une matrice B carrée d'ordre n vérifiant la double égalité : A B = B A = I n avec I n, la matrice identité d'ordre n. Alors A est inversible et on note son inverse A -1telle que B = A -1.
Exemple :
Certaines matrices ne sont pas inversibles par exemple :
Et
On observe sur cet exemple que le produit d'une matrice par deux autres matrices distinctes (deux matrices différentes) peut donner le même résultat. Ici la matrice :

2 - Associativité

L'associativité correspond à dire que multiplier trois matrices entre elles en commençant par multiplier A par B puis par C revient au même que de multiplier B par C puis par A :
Soient A, B et C trois matrices carrées d'ordre n : (A x B) x C = A x (B x C)

3 - Distributivité

On parle de distributivité par rapport à l'addition, c'est-à-dire le produit d'une matrice par la somme de deux autre matrices (produit de la matrice A par la somme de la matrice B et C) est égal à la somme des produits de la matrice A par B et de A par C :
Soient A, B et C trois matrices carrées d'ordre n : (A + B) x C = A x C + B x C

II - Inversibilité des matrices

Sachant que le produit de matrices n'est pas commutatif, on cherche l'inverse d'une matrice M. On cherche à savoir si il existe une matrice N telle que :
NxM=MxN=I 2
On sait qu'il existe des matrices telles que AxB=AxD=C avec B et D deux matrices distinctes (voir l'exemple en début de document). Le fait de pouvoir trouver une matrice A qui multipliée par deux matrices distinctes peut donner le même résultat suffit à nous montrer que la matrice A n'est pas inversible.
En fait si la matrice A avait été inversible dans ce cas-là on aurait pu multiplier la matrice C obtenue par l'inverse de A et retrouver B=C, et pareil pour D. Or B et D sont différents donc cela est absurde et l'inverse de A n'existe pas.
Condition d'inversion d'une matrice d'ordre n=2
On cherche la matrice B
Telleque AxB=BxA=I 2
On va donc résoudre un système en partant des matrices :
On développe en faisant le produit de la matrice A par la matrice B et on obtient :
Ce qui nous donne finalement deux systèmes de deux équations à deux inconnues :
On remarque que les seconds membres de chacun des systèmes nous indiquent ce que l'on appellera « déterminant de la matrice », avec la condition d'existence de la matrice inverse. Ici:det(A)=
Si le déterminant est non nul on peut alors poser B =
On constate que les produits AB et BA sont tous les deux égaux à I 2.
Fin de l'extrait

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