Graphe probabiliste à deux ou trois sommets : Matrice de transition, état stable d'un graphe probabiliste

Graphe probabiliste à deux ou trois sommets : Matrice de transition, état stable d'un graphe probabiliste

Retrouve le cours de Spé Maths terminale S sur le graphe probabiliste avec digiSchool ! Chapitre "Graphes (sommets, sommets adjacents.)".

Dans cette leçon nous étudieront l'ensemble des connaissance à matriser pour réussir les exercices sur les graphes à 2 ou 3 sommets.

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Graphe probabiliste à deux ou trois sommets : Matrice de transition, état stable d'un graphe probabiliste

Le contenu du document

Des difficultés avec les graphes ? Cette fiche t’explique tout sur les graphes probabilistes à deux ou trois sommets.

Prérequis

  • Notions générales sur les graphes
  • Matrices
  • Suites

Objectifs

Dans cette fiche, l’objectif est d’étudier des graphes où sur les arêtes se trouvent des probabilités. En fait, l’idée est de modéliser un système par un graphe et d’étudier son évolution dans le temps en supposant que l’histoire antérieure est indépendante de l’actuelle. Ce type de processus « sans mémoire » est appelé chaîne de Markov. Andreï Markov (1856-1922) était un mathématicien russe qui se spécialisa dans le calcul des probabilités dans les années 1900. Ses contributions dans ce domaine ont été significatives.

I. Graphe probabiliste

DÉFINITION : Graphe probabiliste. Un graphe probabiliste est un graphe orienté et pondéré dont la somme des poids des arêtes issues de chaque sommet vaut 1.

EXEMPLE

11bc087c-7d83-4103-8959-acda46cf4f75

 

Il s'agit bien ici d'un graphe probabiliste, puisqu'il est orienté et 0,05+0,95=1; 0,8+0,1=1.

Les graphes probabilistes sont utilisés pour modéliser l'évolution d'un système pouvant changer aléatoirement d'état.

II. MATRICE DE TRANSITION ET ÉTAT PROBABILISTE

DÉFINITION : Matrice de transition. La matrice de transition d'un graphe probabiliste d'ordre n dont les sommets sont numérotés de 1 à n est la matrice carrée d'ordre n, où le terme figurant en ligne i et colonne j est égal au poids de l'arête allant de i vers j, si cette arête existe ou à 0 sinon.

EXEMPLE

Si on reprend le graphe de l'exemple précédent, on obtient la matrice M de transition suivante :

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La somme des coefficients d’une même ligne d’une matrice de transition est égale à 1.

DÉFINITION : État probabiliste. Un état probabiliste est une loi de probabilité sur l'ensemble des états possibles. Cette loi est représentée par une matrice ligne telle que la somme des termes est égale à 1.

EXEMPLE

Soit P=(1 0). P est un état probabiliste.

III. ÉVOLUTION D'UN ÉTAT AU COURS DU TEMPS

DÉFINITION : État probabiliste après n étapes. L'état probabiliste après n étapes est la matrice ligne dont les coefficients sont les probabilités d'arrivée en chaque sommet.

EXEMPLE " fil rouge "

Un enfant joue aux fléchettes. Un adulte observe son jeu et remarque que si l'enfant atteint la cible lors d'un lancer, alors il atteint encore la cible au lancer suivant avec une probabilité égale à 3/4. Si l'enfant n'atteint pas la cible lors d'un lancer, alors il l'atteint au lancer suivant avec une probabilité égale à 1/8. Lors du 1er lancer, l'enfant atteint la cible avec une probabilité égale à 1/8. Appelons Cn la probabilité que l'enfant atteint la cible au nième lancer et rn la probabilité que l'enfant n'atteigne pas la cible au nième lancer.

L'état probabiliste après n étapes est Pn=(Cn rn)

PROPRIÉTÉ

On considère un graphe probabiliste de matrice de transition M et dont l'état probabiliste après n étapes est Pn.

Pour tout entier naturel n, on a : Pn+1=Pn × M et Pn=P0×Mn

On aussi la formule suivante, si on commence à l'étape k∈N : Pn=Pk×Mn-k.

 

EXEMPLE

Reprenons l'exemple " fil rouge ". Le graphe probabiliste de la situation est le suivant :

71ef1974-a5a0-4646-be58-dde157040024

La matrice M de transition est la suivante : a96f61c8-eb52-4307-8b0c-cc72d2a463f5

Comme, lors du 1er lancer, l’enfant atteint la cible avec uneprobabilité égale à 1/n

 on a : 7e855d2a-1a78-4d0c-8b94-1b7046001667

Déterminons l'état probabiliste au 3ème lancer : d7bdf130-877e-4ef9-832a-26ecb3eb33b8

On peut donc dire qu'au 3ème lancer, la probabilité que l'enfant atteigne la cible est de 31/128≈ 0,24.

Passons maintenant à la notion d'état stable. 

DÉFINITION : État stable. Un état probabiliste est dit stable lorsqu'il n'évolue pas lors de répétitions de l'expérience.

PROPRIÉTÉ

On considère un graphe probabiliste d'ordre 2 (ou 3) dont la matrice de transition ne comporte pas de 0.

1) L’état stable P vérifie alors l'égalité P=P×M.
2) Si n tend vers l'infini, alors l'état probabiliste Pn tend vers l'état stable P.

EXEMPLE

Reprenons à nouveau l'exemple " fil rouge ". Déterminons l'état stable P de cette situation.

6ed8cc43-7771-41f2-b374-b05969b27259

On peut donc dire que sur un très grand nombre de lancers, l’enfant a 2 chances sur 3 de rater la cible (le double de l’atteindre !).

LE PETIT + DANS TA COPIE

Lorsque vous manipulez des matrices de transition et des états probabilistes, assurez-vous que la somme des coefficients fait bien 1, sinon il faut reprendre !
Pour déterminer l’état stable P = ( x  y), n’ouliez pas d’ajouter la condition x + y = 1 lorsque vous vous apprêtez à résoudre le système d’équations.

POUR ALLER PLUS LOIN …

  • Pour revoir le cours et acquérir les méthodes essentielles du cours : Xavier GRAND-JACQUOT, Objectif réussite TES, Ellipses, 2018.
  • Pour ceux qui veulent en savoir plus sur les fonctions : Bibliothèque Tangente, Les graphes - HS n°54, Paris, éditions POLE, 2015.
  • Pour ceux qui veulent faire le lien entre les mathématiques et l’économie : Frantz BADUFLE, Rémi CHAUTARD, Comprendre les sciences éco par les maths, Paris, Ellipses, 2015.
  • Pour ceux qui veulent se cultiver de manière générale sur les mathématiques : .

 

Fin de l'extrait

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