Existence et unicité de la décomposition en produit de facteurs premiers

Existence et unicité de la décomposition en produit de facteurs premiers

Place au cours sur l'existence et l'unicité de la décomposition en produit de facteurs premiers en spécialité maths ! Il est important de bien réviser cette notion de cours pour réussir votre épreuve et votre exercice lors du Bac S. Notre prof de...

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Place au cours sur l'existence et l'unicité de la décomposition en produit de facteurs premiers en spécialité maths ! Il est important de bien réviser cette notion de cours pour réussir votre épreuve et votre exercice lors du Bac S. Notre prof de mathématiques met à votre disposition gratuitement sa fiche pour bien réviser et tout savoir du produit de facteurs premiers !

 

I - Théorème

Tout entier n ? 2 est PREMIER au PRODUIT de nombres premiers.

Démonstration

n est un entier non premier, n ? 2. Donc, d'après le théorème, n admet un diviseur premier n1. Alors n = n1 *q avec q entier naturel et q strictement supérieur à 1 (car si q=1, n= n1 et n est premier ; or n est non premier).
En outre, q est strictement inférieur à n, q < n, car n1 > 1 (n1 étant premier).
Si q est premier, alors n est produit de nombres premiers. Si q n'est pas premier, alors q= q1*q2 avec q1 premier et 1 < q1 < q2 d'où n= n1* q1 * q2 .
A partir de q2 , on réitère le processus se termine et le dernier quotient trouvé est premier ( sinon on pourrait poursuivre). Ainsi l'entier n non premier est produit de facteurs premiers.
Donc, tout entier n (avec n?2), NON premier, est produit de nombres premiers et s'écrit sous la forme :
n = p1 * p2 ... * pm
Chaque facteur étant un nombre premier.
Certains de ces facteurs peuvent être égaux et, en les regroupant, nous obtenons un écriture de la forme :
n = p1? 1 * p2? 2 * ...* pm? m

II - Définition

Décomposer un naturel n en produit de nombres premiers, c'est l'écrire sous la forme canonique :
n = p1?1 * p2?2 * ...* pr?r
avec p1 < p2 <... < pr
Remarque :
Si :
n = p1?1 * p2?2 * ...* pn?n
Alors
n2 = p12?1 * p22?2 * ... pn2?n
Les exposants sont donc pairs.

III - Recherche des diviseurs d'un naturel non premier

Théorème
Soit n un entier non premier dont la décomposition en produit de nombres premiers est :
p1?1 * p2?2 * ...* pm?m
Alors, les diviseurs de n sont tous les nombres qui s'écrivent :
p1?'1 * p2?'2 * ...* pm?'m
avec : 0??'1??1 ; 0??'2??2 ; ... ; 0??'m??m

IV - Méthodes

*Comment connaître le nombre de diviseurs d'un entier a ?
Soit a = p1?1 * p2?2 * ...* pm?m
Les diviseurs de a sont les nombres :
p1?'1 * p2?'2 * ...* pm?'m
avec : 0??'1??1 ,etc.. (il y a (?1+1) valeurs possibles pour ?'1)
Il y a donc (?1+1) choix pour ?'1
(?2+1) choix pour ?'2
...
(?m+1) choix pour ?'m
Au total : il y a (?1+1) ... (?m+1) choix possibles.
Le nombre de diviseurs de a est : (?1+1) (?2+1) ... (?m +1)

V - Nombres premiers et divisibilité dans N

Théorème

p est un nombre premier et a est un naturel NON divisible par p.
Alors, p et a sont PREMIERS entre eux.

Démonstration

D(p) = {1 ;p}
D(a)={1 ;... ;a}
Par hypothèse p n'appartient pas à D(a) : le seul élément commun de ces deux ensembles est donc 1 : p et a sont premiers entre eux.
Remarque : Un nombre premier est premier avec tout nombre qu'il ne divise pas.

Théorème

* p est un nombre premier qui divise un produit a*b de deux naturels a et b.
Alors : p divise a ou p divise b.
* p est un nombre premier qui divise le produit a*b de deux nombres premiers a et b.
Alors : p=a ou p=b.
Ces 2 résultats s'étendent par récurrence à un produit de n facteurs ( n?2 )

Démonstration

1)Si p divise a, le résultat est acquis.
Si p ne divise pas a : il est premier avec a ; donc , il divise b (Th.de.Gauss)
2) p divise a ou p divise b.
Mais a et b étant premiers, et p différent de 1 nécessairement : p=a ou p=b.
Remarque : On déduit de 1) que si p divise a2, alors p divise a.

VI - Le petit théorème de Fermat

Si - p est premier Alors : ap-1 -1 est divisible pas p
- a non divisible par p

Démonstration

Ecrivons la liste des multiples de a jusqu'à (p-1) a :
a, 2a, 3a, ..., ka, ..., (p-1)*a
et notons rk le reste de la division de k*a par p.
* Prouvons d'abord que tout k, rk ? 0.
Si p divise k*a, alors, d'après le théorème, p divise a ( ce qui est exclu par hypothèse) ou p divise k (ce qui est exclu car k < p). D'où le résultat.
* Prouvons maintenant que ces restes sont deux à deux distincts.
en utilisant les congruences modulo p, si k*a ? k'*a.
Mais a est premier avec p, donc k ? k' ce qui implique k = k' ( car k

 

* Ecrivons la liste des congruences : a ? r1 ,2a ? r2 , k*a ? rk'..., (p-1)*a ? rp-1.
En multipliant membre à membre ces congruences, on obtient :
a*2a*...*((p-1)*a) ? r1* r2* ...*rp-1
donc ap-1(p-1)! ? (p-1)!. Or p est premier avec 1,2, ...,(p-1), donc avec (p-1)!, donc par simplification, ap-1? 1 [p].

Corollaire

Si : *p premier Alors : ap-a est divisible par p.
*a un entier quelconque

Démonstration :

*résultat évident si p divise a.

*si p ne divise pas a : on sait que :
ap-1 ? 1 [p]
ap ? a [p]
Fin de l'extrait

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