Entiers premiers entre eux - Spé Mathématiques - Terminale S

Entiers premiers entre eux - Spé Mathématiques - Terminale S

digischool bac S vous propose ce cours de spé maths sur les entiers premiers entre eux.
Dans ce cours vous aurez un rappel sur la définition d'un nombre 1er puis de la crible d'ératosthène. Ensuite des nombres premiers entre eux.
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Entiers premiers entre eux - Spé Mathématiques - Terminale S

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digischool bac S vous propose ce cours de spé maths sur les entiers premiers entre eux.<br>Dans ce cours vous aurez un rappel sur la définition d'un nombre 1er puis de la crible d'ératosthène. Ensuite des nombres premiers entre eux.<br>Téléchargez ce cours sur les entiers 1er entre eux spé mathématiques terminale S !

 

 

Rappel de la définition d'un nombre premier :

On dit que P est un nombre premier si :
C'est un entier naturel strictement supérieur à 1.
L'ensemble de ses diviseurs dans N est {1 ;p} .
Remarque : Les entiers qui ne sont pas appelés « nombre premiers » sont appelés « nombre composé ».
Propriété d'un nombre premier :
On a k ϵ N et k>1 tel que :
k a au moins un diviseur premier.
Si on a k qui n'est pas un entier premier alors au moins un de ses diviseurs premiers est inférieur à la racine de k.
Astuce : Si l'on veut savoir si un nombre entier a est premier on peut regarder si l'on trouve un nombre premier inférieur ou égal à √ a et on regarde :
Si on a un nombre premier ≤ à √a qui divise a alors a n'est pas premier.
Si aucun nombre premier ≤ à √a ne divise a alors a est premier.
Remarque : Cette méthode est pratique si le nombre a n'est pas extrêmement grand, et que les nombres premiers inférieurs à √a sont facilement identifiables et dénombrables.

Crible d'Eratosthène : Les nombres de 1 à 100

Pour connaitre et repérer facilement les nombres premiers de 1 à 100 on peut utiliser un tableau. Les nombres premiers du tableau sont ceux non rayés, ils sont obtenus en :
Barrant tous les multiples de 2 (donc toute la colonne 2 sauf 2, toute la colonne 4, toute la colonne 6, toute la colonne 8 et toute la colonne 10)
Barrant tous les multiples de 3 (pour trouver un multiple de 3 on fait la somme des chiffres du nombre et on regarde si il est divisible par 3, exemple : 78 donne 7+8=15, 15 est un multiple de 3 donc 78 aussi)
Tous les multiples de 5 (tous les nombres se terminant par 0 ou 5)
Tous les multiples de 7.
On obtient le tableau suivant :

Remarque : ici on a les nombres premiers de 1 à 100. Dans N il existe une infinité de nombres premiers.

Les nombres premiers entre eux 

Définitions : Soient a et b deux nombres entiers relatifs non nuls. Dire que a et b sont premiers entre eux ↔ dire que PGCD(a,b)=1
Remarque : Deux nombres sont premiers entre eux si ils níont comme diviseurs communs que -1 et 1.
Si l'on prend a un entier relatif et p un nombre premier qui ne divise pas a. On a alors forcément PGCD (a, p)=1, c'est-à-dire que a et p sont premiers entre eux.
Exemple : 
On cherche à savoir si 12 et 15 sont premiers entre eux.
On cherche le PGCD de 12 et 15 :
PGCD(12, 15)=3≠ 1 donc 12 et 15 ne sont pas premiers entre eux.

Le théorème de Bezout 

Ce théorème permet entre autre de travailler sur des grands nombres. On prend deux entiers relatifs non nuls a et b tels que a et b sont premiers entre eux. Alors il existe u et v deux entiers relatifs tels que au+bv =1
Exercice de compréhension : 
On a :
a=8n+3
b=3n+1
On cherche à utiliser le théorème de Bezout pour trouver une relation entre a et b de la forme au+bv =1 avec u et v deux entiers relatifs. Trouver cette équation nous permettra alors de dire que a et b sont premiers entre eux.
Ici on peut d'abord chercher à supprimer les coefficients de « n », car dans l'expression au+bv =1 on ne veut pas de dépendance à n. On multiplie donc a par 3 et b par 8 pour avoir le même coefficient pour n dans les deux expressions.
On obtient :
3a=24n+9 (1)
8b=24n+8 (2)
Il suffit maintenant de faire (1)-(2) pour obtenir 3a-8b=1.
D'après le théorème de Bezout, a et b sont premiers entre eux (pour tout n strictement supérieur à 0)
Le théorème de Bezout peut aussi être utilisé pour obtenir des informations sur des équations linéaires.
On souhaite par exemple savoir si la droite 12x-21y=1 possède des coordonnées entières (c'est-à-dire x et y appartiennent à Z).
On nomme (u,v) les coordonnées de ce point à coordonnées entières. Le point étant sur la droite, on a 12u-21v=1 ce qui équivaux à dire que 12u+21(-v)=1. En utilisant le théorème de Bezout on en déduirait que 12 et 21 sont premiers entre eux, or ici c'est FAUX, le PGCD(12,21)=3 donc ABSURDE.
On a montré qu'il n'existe pas de u et v entier tel que 12u-21v=1
On peut aussi faire apparaitre que 12u-21v = 3(4u - 7v). Si u et v sont entiers, alors 12u-21v est toujours un multiple de 3, or 1 n'est pas un multiple de 3.
Donc la droite D ne contient aucun point à coordonnées entières.

Le théorème de Gauss

Soient a et b deux nombres entiers relatifs non nuls et soit c un entier relatif. Si a divise le produit bc et si a est premier avec b alors a divise c.
Propriété : Soient a et b deux entiers relatifs et p un nombre premier. Si p divise le produit ab, on a alors p qui divise a ou p qui divise b. Si p divise a, a n'est pas un nombre premier (et il en est de même pour b).
Propriété : Soient a et b deux entiers relatifs non nuls qui n'ont comme diviseur commun que 1 (PGCD(a,b)=1) c'est-à-dire que a et b sont premiers entre eux. On a un entier naturel n tel que :
Si n est divisible par a et par b alors n est divisible par le produit de ab.
Propriété : Soient a et b deux entiers relatifs non nuls et D un entier naturel non nul.
D=PGCD(a,b) équivaut à dire que a/D et b/D sont des entiers relatifs non nuls premiers entre eux.
D=PGCD(a,b) équivaut à dire que a=Da' et b=Db' ou a' et b' sont deux entiers relatifs non nuls premiers entre eux .
Exemple d'application du théorème de Gauss :
On cherche à déterminer les entiers relatifs x et y tels que 12x-7y=0
Si on a 12x-7y=0 alors on peut dire 12x=7y.
12 divise 12x donc 12 divise 7y
Comme on a 12 premier avec 7, 12 ne peut pas être un diviseur de 7 donc 12 est forcément un diviseur de y (on dit que 12 divise y), c'est-à-dire que l'on peut écrire y sous la forme d'un produit de 12 avec un relatif : y=12k où kϵ Z. On peut faire le même raisonnement pour trouver que x=7k où kϵZ
On peut en déduire que si (x,y) est une solution de l'équation 12x+7y = 0 alors on a x=7k et y=12k avec kϵZ.
L'ensemble des solutions de l'équation 12x-7y=0 est {(7k ;12k) avec kϵZ}

Le petit théorème de Fermat

Soit p un nombre premier. On a pour tout a non multiple de p, a p-1-1 est divisible par p.
Exemple d'application du petit théorème de Fermat :
Soit p = 7 un nombre premier.
On choisit des entiers a non multiples de 7 : 2,3,4,5,6
Grâce au petit théorème de Fermat on peut alors affirmer que :
6-1 divisible par 7 (2^6-1=64-1=63 63/7=9 donc vérifié)
6-1 = 7 x 104
6-1 = 7 x 585
6-1 =7 x 2232
6-1 = 7 x 6665
Mais attention :7 6-1 = 7 x 16806 + 6
Propriété : Soit p un nombre premier. Pour tout a un nombre entier non multiple de p, on a a p-a est divisible par p.
Ici on peut remarquer le lien direct avec le petit théorème de Fermat ou on a factorisé par a :
p-a=a(a p-1-1) or on a vu que a p-1-1 est divisible par p donc a= p-a aussi.
Exemple :
On choisit un nombre entier : 8 et un nombre p premier :7
On applique la propriété précédente :
7-8 est un multiple de 7
7-8=2097144 or 2097144/7= 299592 donc cíest bien divisible par 7.

Fin de l'extrait

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