Divisibilité et Division Euclidienne

Divisibilité et Division Euclidienne

Dans les propos qui vont suivre, désigne l'ensemble des entiers naturels, et désigne l'ensemble des entiers relatifs.

I - Divisibilité

1 - Définitions

Soient a et b deux entiers relatifs (avec ).
On dit que b est un multiplie de a...
Divisibilité et Division Euclidienne

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<div class="import_html">Dans les propos qui vont suivre, <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2329/index_html_m63f73602.png" border="0" alt="" /> d&eacute;signe l'ensemble des entiers naturels, et <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2329/index_html_m56a85fb3.png" border="0" alt="" /> d&eacute;signe l'ensemble des entiers relatifs.</div> <h2 class="import_html">I - Divisibilit&eacute;</h2> <h3 class="import_html">1 - D&eacute;finitions</h3> <div class="import_html">Soient a et b deux entiers relatifs (avec <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2329/index_html_m561011dc.png" border="0" alt="" />).</div> <div class="import_html">On dit que b est un multiplie de a s'il existe un entier relatif n tel que&nbsp;: <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2329/index_html_m13142481.png" border="0" alt="" />.</div> <div class="import_html">De plus, &laquo;&nbsp;b multiplie a&nbsp;&raquo; &eacute;quivaut &agrave;&nbsp;:</div> <ul class="import_html"> <li class="import_html"> <div class="import_html">&laquo;&nbsp;a divise b&nbsp;&raquo;</div> </li> <li class="import_html"> <div class="import_html">&laquo;&nbsp;a est un diviseur de b&nbsp;&raquo;</div> </li> </ul> <div class="import_html">Le chiffre 0 n'a pas de multiple.</div> <div class="import_html">On note&nbsp;:</div> <ul class="import_html"> <li class="import_html"> <div class="import_html"><img class="import_html" src="../../docs/import_html/2329/index_html_m6173e6ac.png" border="0" alt="" /> l'ensemble des multiples de a</div> </li> <li class="import_html"> <div class="import_html"><img class="import_html" src="../../docs/import_html/2329/index_html_m28632621.png" border="0" alt="" /></div> </li> <li class="import_html"> <div class="import_html"><img class="import_html" src="../../docs/import_html/2329/index_html_46872fc0.png" border="0" alt="" /></div> </li> <li class="import_html"> <div class="import_html"><img class="import_html" src="../../docs/import_html/2329/index_html_m5abbbabc.png" border="0" alt="" /> (car a et -a ont les m&ecirc;mes multiples)</div> </li> </ul> <div class="import_html">La formulation &laquo;&nbsp;a divise b&nbsp;&raquo; se note&nbsp;: <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2329/index_html_56ec3b46.png" border="0" alt="" />.</div> <div class="import_html">Par exemple, la liste des diviseurs de 45 est&nbsp;:</div> <ul class="import_html"> <li class="import_html"> <div class="import_html">dans <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2329/index_html_m63f73602.png" border="0" alt="" />&nbsp;: 1, 3, 5, 9, 15, 45</div> </li> <li class="import_html"> <div class="import_html">dans <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2329/index_html_m56a85fb3.png" border="0" alt="" />&nbsp;: les m&ecirc;mes que dans <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2329/index_html_m63f73602.png" border="0" alt="" /> ainsi que leurs oppos&eacute;s</div> </li> </ul> <div class="import_html"><span style="color: #943634;"><span style="text-decoration: underline;"><strong>&Eacute;nigme</strong></span></span></div> <div class="import_html"><img class="import_html" src="../../docs/import_html/2329/index_html_543e3ab9.png" border="0" alt="" /> est-il divisible par <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2329/index_html_m9ee077c.png" border="0" alt="" />&nbsp;?</div> <div class="import_html"><em>Solution&nbsp;</em>:</div> <div class="import_html"><img class="import_html" src="../../docs/import_html/2329/index_html_m5b131d3d.png" border="0" alt="" /></div> <div class="import_html"><img class="import_html" src="../../docs/import_html/2329/index_html_m4246a3cf.png" border="0" alt="" /></div> <div class="import_html">Donc <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2329/index_html_543e3ab9.png" border="0" alt="" /> est divisible par <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2329/index_html_m9ee077c.png" border="0" alt="" />.</div> <h3 class="import_html">2 - Propri&eacute;t&eacute;s</h3> <div class="import_html"><span style="color: #943634;"><span style="text-decoration: underline;"><strong>Propri&eacute;t&eacute; 1</strong></span></span> <span style="color: #943634;">&nbsp;: </span>Si b et c sont des multiples de a, alors b+c est aussi un multiple de a. Autre &eacute;nonciation possible&nbsp;: si a divise b et si a divise c, alors a divise b+c.</div> <div class="import_html"><em>D&eacute;monstration</em>&nbsp;:</div> <ul class="import_html"> <li class="import_html"> <div class="import_html"><img class="import_html" src="../../docs/import_html/2329/index_html_fda2578.png" border="0" alt="" /> donc il existe un entier n <sub>1</sub> tel que <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2329/index_html_249f643e.png" border="0" alt="" /></div> </li> <li class="import_html"> <div class="import_html"><img class="import_html" src="../../docs/import_html/2329/index_html_m28767ff.png" border="0" alt="" /> donc il existe un entier n <sub>2</sub> tel que <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2329/index_html_7703b6a4.png" border="0" alt="" /></div> </li> <li class="import_html"> <div class="import_html">alors&nbsp;: <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2329/index_html_m3c0acb87.png" border="0" alt="" />, d'o&ugrave;&nbsp;: <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2329/index_html_m100a7ec4.png" border="0" alt="" /></div> </li> <li class="import_html"> <div class="import_html">donc b+c est un multiple de a</div> </li> </ul> <div class="import_html"><span style="color: #943634;"><span style="text-decoration: underline;"><strong>Propri&eacute;t&eacute; 2</strong></span></span> <span style="color: #943634;">&nbsp;: </span>Si b est un multiple de a et si c n'est pas un multiple de a, alors b+c n'est pas un multiple de a.</div> <div class="import_html"><em>D&eacute;monstration</em>&nbsp;:</div> <ul class="import_html"> <li class="import_html"> <div class="import_html">on utilise un raisonnement par l'absurde en supposant que b+c est un multiple de a</div> </li> <li class="import_html"> <div class="import_html">or, -b est un multiple de a (car b multiple de a par hypoth&egrave;se)</div> </li> <li class="import_html"> <div class="import_html">d'apr&egrave;s la propri&eacute;t&eacute; 1, <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2329/index_html_m4a476472.png" border="0" alt="" /> est un multiple de a</div> </li> <li class="import_html"> <div class="import_html">c'est donc contraire &agrave; l'hypoth&egrave;se, donc b+c n'est pas un multiple de a</div> </li> </ul> <div class="import_html"><span style="color: #943634;"><span style="text-decoration: underline;"><strong>Propri&eacute;t&eacute; 3</strong></span></span> <span style="color: #943634;">&nbsp;: </span>Si b est un multiple de a et si a est un multiple de b, alors b = a ou b = -a.</div> <div class="import_html"><em>D&eacute;monstration</em>&nbsp;:</div> <ul class="import_html"> <li class="import_html"> <div class="import_html"><img class="import_html" src="../../docs/import_html/2329/index_html_fda2578.png" border="0" alt="" /> donc il existe un entier n <sub>1</sub> tel que <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2329/index_html_249f643e.png" border="0" alt="" /></div> </li> <li class="import_html"> <div class="import_html"><img class="import_html" src="../../docs/import_html/2329/index_html_m43b5895a.png" border="0" alt="" /> donc il existe un entier n <sub>2</sub> tel que <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2329/index_html_15fd0eb9.png" border="0" alt="" /></div> </li> <li class="import_html"> <div class="import_html">alors&nbsp;: <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2329/index_html_m65fd2a02.png" border="0" alt="" /></div> </li> <li class="import_html"> <div class="import_html">c'est-&agrave;-dire&nbsp;: <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2329/index_html_m7639edc0.png" border="0" alt="" /></div> </li> <li class="import_html"> <div class="import_html">d'o&ugrave;&nbsp;: <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2329/index_html_m17edbd79.png" border="0" alt="" /> ou <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2329/index_html_m55a52494.png" border="0" alt="" /></div> </li> <li class="import_html"> <div class="import_html">donc <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2329/index_html_334aeeca.png" border="0" alt="" /> ou <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2329/index_html_596509d.png" border="0" alt="" />.</div> </li> </ul> <div class="import_html"><span style="color: #943634;"><span style="text-decoration: underline;"><strong>Propri&eacute;t&eacute; 4</strong></span></span> <span style="color: #943634;">&nbsp;: </span>Si b est un multiple de a et si c est un multiple de b, alors c est un multiple de a.</div> <div class="import_html"><em>D&eacute;monstration</em>&nbsp;:</div> <ul class="import_html"> <li class="import_html"> <div class="import_html"><img class="import_html" src="../../docs/import_html/2329/index_html_fda2578.png" border="0" alt="" /> donc il existe un entier n <sub>1</sub> tel que <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2329/index_html_249f643e.png" border="0" alt="" /></div> </li> <li class="import_html"> <div class="import_html"><img class="import_html" src="../../docs/import_html/2329/index_html_m1314d6eb.png" border="0" alt="" /> donc il existe un entier n <sub>2</sub> tel que <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2329/index_html_63a23702.png" border="0" alt="" /></div> </li> <li class="import_html"> <div class="import_html">alors&nbsp;: <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2329/index_html_427fb54a.png" border="0" alt="" /></div> </li> <li class="import_html"> <div class="import_html">donc <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2329/index_html_m28767ff.png" border="0" alt="" />, c'est-&agrave;-dire que c est un multiple de a</div> </li> </ul> <h2 class="import_html">II - Division Euclidienne</h2> <h3 class="import_html">1 - Th&eacute;or&egrave;me</h3> <div class="import_html">Soit a un entier relatif et b un entier naturel non-nul. Il existe un unique entier relatif q et un unique entier naturel r (avec <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2329/index_html_27f246e.png" border="0" alt="" />) tel que <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2329/index_html_523c704b.png" border="0" alt="" />.</div> <div class="import_html"><em>D&eacute;monstration</em>&nbsp;:</div> <ol class="import_html"> <li class="import_html"> <div class="import_html"><span style="text-decoration: underline;">Existence&nbsp;</span>: a appartient &agrave; <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2329/index_html_m56a85fb3.png" border="0" alt="" />, il y a deux cas possibles&nbsp;:</div> <ul class="import_html"> <li class="import_html"> <div class="import_html">a est un multiple de b donc :</div> <ul class="import_html"> <li class="import_html"> <div class="import_html"><img class="import_html" src="../../docs/import_html/2329/index_html_m43528ad4.png" border="0" alt="" /></div> </li> <li class="import_html"> <div class="import_html">dans ce cas c'est v&eacute;rifi&eacute; avec <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2329/index_html_68c6666.png" border="0" alt="" /></div> </li> </ul> </li> <li class="import_html"> <div class="import_html">a n'est pas un multiple de b donc&nbsp;:</div> <ul class="import_html"> <li class="import_html"> <div class="import_html"><img class="import_html" src="../../docs/import_html/2329/index_html_6230977f.png" border="0" alt="" /></div> </li> <li class="import_html"> <div class="import_html"><img class="import_html" src="../../docs/import_html/2329/index_html_351c9066.png" border="0" alt="" /></div> </li> <li class="import_html"> <div class="import_html"><img class="import_html" src="../../docs/import_html/2329/index_html_523c704b.png" border="0" alt="" /></div> </li> <li class="import_html"> <div class="import_html">c'est &eacute;galement v&eacute;rifi&eacute; avec <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2329/index_html_59404ef7.png" border="0" alt="" /></div> </li> </ul> </li> </ul> </li> <li class="import_html"> <div class="import_html"><span style="text-decoration: underline;">Unicit&eacute;</span>&nbsp;: on suppose <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2329/index_html_61880919.png" border="0" alt="" /> avec <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2329/index_html_27f246e.png" border="0" alt="" /> et <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2329/index_html_51a56074.png" border="0" alt="" />, d'o&ugrave;&nbsp;:</div> <ul class="import_html"> <li class="import_html"> <div class="import_html"><img class="import_html" src="../../docs/import_html/2329/index_html_27f246e.png" border="0" alt="" /> et <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2329/index_html_m667d685b.png" border="0" alt="" /> impliquent <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2329/index_html_6056d70b.png" border="0" alt="" /></div> </li> <li class="import_html"> <div class="import_html">d'o&ugrave;&nbsp;: <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2329/index_html_5d153508.png" border="0" alt="" /></div> </li> <li class="import_html"> <div class="import_html">or, <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2329/index_html_1480c5a0.png" border="0" alt="" /></div> </li> <li class="import_html"> <div class="import_html">donc r'-r est un multiple de b</div> </li> <li class="import_html"> <div class="import_html">d'o&ugrave;&nbsp;: <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2329/index_html_281904af.png" border="0" alt="" />, puis <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2329/index_html_609c2ebe.png" border="0" alt="" /> et <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2329/index_html_m19833234.png" border="0" alt="" /></div> </li> </ul> </li> </ol> <h3 class="import_html">2 - D&eacute;finition</h3> <div class="import_html">D&eacute;terminer l'entier relatif q et l'entier naturel r tels que <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2329/index_html_523c704b.png" border="0" alt="" /> avec <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2329/index_html_27f246e.png" border="0" alt="" />, c'est effectuer la division euclidienne de a par b.</div> <div class="import_html"><br class="import_html" /> <em>Exemple&nbsp;</em>:</div> <ul class="import_html"> <li class="import_html"> <div class="import_html">1221 divis&eacute; par 17&nbsp;: <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2329/index_html_c5a38dc.png" border="0" alt="" /></div> </li> <li class="import_html"> <div class="import_html">-1221 divis&eacute; par 17&nbsp;: <img class="import_html" src="../../docs/import_html/2329/index_html_m3cae4a95.png" border="0" alt="" /></div> </li> </ul>
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