Divisibilité dans Z et congruences

Divisibilité dans Z et congruences

Cette fiche de révision porte sur le chapitre de la divisibilité dans l'ensemble Z et la division euclidienne. Elle a été conçue par notre professeur pour vous permettre de bien réviser la spécialité mathématiques avant votre épreuve du...

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Cette fiche de révision porte sur le chapitre de la divisibilité dans l'ensemble Z et la division euclidienne. Elle a été conçue par notre professeur pour vous permettre de bien réviser la spécialité mathématiques avant votre épreuve du Baccalauréat Scientifique. Téléchargez gratuitement cette fiche et revoyez toutes les notions importantes sans trop d'efforts !

 

Divisibilité dans Z


1 - Multiples d'un entier relatif

Définition : Dire que l'entier m est un multiple de l'entier b signifie qu'il existe un entier c tel que :
m = b * c

Exemple : Les multiples de 3 sont tous les nombres de la forme 3c avec c relatif. -12 et 342 sont des multiples de 3 car -12=3*(-4) et 342=3*114

2 - Relation de divisibilité dans Z

Définition : Dire que l'entier b divise l'entier a signifié qu'il existe un entier c
tel que :
a = b * c

De manière équivalente, on peut dire que a est un multiple de b. On dit alors que b est un diviseur de a (ou encore que a est divisible par b).

3. Les propriétés de la relation de divisibilité dans Z


- Si b divise a, alors -b divise a

Démonstration : b divise a :il existe donc un entier k tel que a=b*k
Ainsi : a=(-b)(-k) donc -b divise a

- Si b divise a et si a ? 0 ,alors |b| ? |a|

Démonstration :b divise a :il existe donc un entier k tel que a=b*k
Ainsi |a|=|b|*|k| } |b| ? |a|
+ + +

Attention :
Si a et b sont des naturels (a?0) et si b divise a, alors b?a.
Mais si a et b sont de signe quelconque , ce n'est plus vrai. (ex : 3 divise -6)

-Si a divise b et si b divise a, alors a = b ou a = -b

Démonstration :
Si a divise b alors |a| ? |b| et Si b divise a alors |b| ? |a|
Donc |a|=|b| et ainsi a=b ou a=(-b)
-Si a divise b, et si b divise c alors a divise c

Démonstration :
Si a divise b il existe donc un entier k tel que b=ak
Si b divise c il existe donc un entier k' tel que c=bk'
Donc c=b*k' et c=a*k*k' c'est un entier alors a divise c.

- Si a divise b et c, alors a divise (b+c) ; (b-c) et plus généralement a divise tout entier (b*x)+(c*y) avec x et y entiers.
Démonstration :
Si a divise b ; il existe donc un entier k tel que b=a*k
Si a divise c ; il existe donc un entier k' tel que c=a*k'

Donc b+c=(a*k)+(a*k')=a(k+k') avec b+c est un multiple de a et a divise b+c
De même b-c=a*(k-k') avec b-c est un multiple de a et a divise b-c
Si N=(b*x)+(c*y) avec x ? Z et y ? Z, N=(a*k*x)+(a*k'*y)=a(k*x+k'*y)
Donc a divise n ou bien a divise bx+cy.

- Si a divise b, alors ac divise bc quelque soit l'entier c

Démonstration :
a divise b : il existe donc un entier k tel que b= a*k
?on multiplie par c
Donc b*c=a*c*k et a*c divise b*c.


4. Remarques importantes


Une propriété remarquable de l'ensemble N : Tout sous ensemble de nombres naturels possède un plus petit élément (il y a donc toujours un entier positif plus petit que tous les autres entiers naturels de ce sous-ensemble).
Exemple :
Si E est l'ensemble des nombres qui s'écrivent 2n+5 avec n?0 alors le plus
petit élément de E est 5.
Cette propriété n'est pas vrai dans l'ensemble Z : l'ensemble de tous les entiers inférieurs à -16 n'a pas de plus petit élément.

Pour traduire une hypothèse du style b divise a, il faut écrire tout de suite a =
b*k avec k entier.

Pour interpréter une hypothèse du style p=m*q avec m et q entiers, il faut penser
que m divise p mais aussi que q divise p.

Division euclidienne

1 - La division euclidienne dans N

Théorème :
a et b sont deux entiers POSITIFS, et b ? 0.
Alors, il existe un couple (q ; r) unique d'entiers positifs tels que a = b*q + r et
0 ? r < b

Démonstration :
Puisque b > 0, les multiples positifs de b forment une suite strictement croissante :
Puisque a est un naturel ainsi que b, le produit (a+1)b est positif et plus grand que a (puisque a+1 > a). On a donc : (a+1)*b > a.

Donc : a est nécessairement soit l'un des multiples écrites, soit compris entre deux multiples consécutifs, c'est-à-dire : a ? [q*b ; (q+1)*b[.

a = (b*q)+r et r < (q+1)*b - (q*b) avec q*b la longueur de l'intervalle soit 0?r
Attention : L'unicité du couple (q ; r) résulte du fait que a ne peut pas appartenir à deux intervalles différents.
Définition :
Effectuer la division euclidienne dans N de a par b ( b?0 ), c'est trouver le
couple (q ;r ) tel que : a=(b*q)+r et 0 ? r < b.

Dire que b divise a équivaut à dire que dans la division euclidienne de a par b, le reste est nul.

2 - La division euclidienne dans Z.

On peut généraliser la définition : a et b sont deux relatifs et b est non nul, alors il existe un unique relatif q et un unique entier positif r tel que :

a = (b*q) + r et O ? r < |b|. avec (b*q) positif ou négatif
et r toujours positif

3 - Remarques

Dès qu'on se donne deux relatifs a et b non nuls, on a trois cas possibles :

1) a divise b ;
2) b divise a ;
3) a ne divise pas b ET b ne divise pas a.

-Une égalité du type a = (b*q)+r ne traduit pas nécessairement la division
euclidienne de a par b.
-Si b est un entier strictement positif, on peut exprimer tout naturel n en
fonction de b et des restes possibles :

n=(b*q)+r avec r=0 ou 1 ou 2..etc ou b-1.
Exemple :
Tout naturel n s'écrit (6*p) ou (6*p+1) ou (6*p+2) ou (6*p+3) ou (6*p+4) ou
(6*p+5)
Tout naturel n s'écrit n=2*k (pair) ou n=2*k+1 (impair).

Application

Comment effectuer une division euclidienne :
A=37 et B=-11
On a 37=11*3+4=(-11)*(-3)+4 où q=(-3) et r=4 avec 4<|-11| est vrai.
A=-37 et B=11
On a 37=11*3+4 donc -37=11*(-4)+7
Démontrer que pour tout naturel n, n(n+1)(2n+1) est divisible par 3
A=n(n+1)(2n+1)
Dans la division euclidienne par 3, on peut avoir :
  • n=3k et A=3k(3k+1)(6k+1)
  • n=3k+1 et A=(3k+1)*(3k+2)*(6k+3)
A=(3k+1)*(3k+2)*3*(2k+1)
  • n=3k+2 et A=(3k+2)*(3k+3)*(6k+5)
Quelles sont les valeurs de relatif n pour lesquelles la fraction 3n+8/n+4 représente un entier relatif ?
Il faut que n?-4 On a : 3n+8/n+4=[3(n+4)-4)]/[n+4]=3-(4/(n+4))
n+4 divise 3n+8 si et seulement si, n+4 divise -4.
Or D= {1 ;2 ;4 ;-1 ;-2 ;-4}
Valeurs de n+4
 
1
2
4
-1
-2
-4
Valeurs de n
 
-3
-2
0
-5
-6
-8
Donc les valeurs possibles de n sont : {-3 ;-2 ;0 ;-5 ;-6 ;-8}
Fin de l'extrait

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Les avis sur ce document

Alirelia
3 5 0
12/20

Assez bien mais beaucoup de fautes (ou erreurs de frappe), dommage!

par - le 13/05/2017

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