Correction Spé Mathématiques - Bac S 2017 Pondichéry

Correction Spé Mathématiques - Bac S 2017 Pondichéry

Notre professeur a rédigé pour vous le corrigé de l'épreuve de Spécialité Mathématiques du Bac S de Pondichéry 2017.
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L'exercice de Spé Mathématiques portait sur les suites, l'arithmétique et les matrices.

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Correction Spé Mathématiques - Bac S 2017 Pondichéry

Le contenu du document

 

 

EXERCICE 1 (5POINTS)

Les parties A, B et C sont indépendantes.

Dans tout l’exercice, les résultats seront arrondis, si nécessaire, au millième. 


La chocolaterie « Choc’o » fabrique des tablettes de chocolat noir, de 100 grammes, dont la teneur en cacao annoncée est de 85 %.


PARTIE A

On note :

- A l’événement « la tablette de chocolat provient de la chaîne de fabrication A »

- C l’événement « la tablette de chocolat est commercialisable »

- On note x la probabilité qu’une tablette de chocolat provienne de la chaîne A

On peut représenter les données à l’aide de l’arbre suivant :

1. Montrons que P(C)=0,03x + 0,95

P(C) = P(C ∩ A) + P(C ∩ A(barre))

P(C) = P(A) × PA(C) + P(A(barre)) ×PA(barre)(C)

P(C) = 0,98x + 0,95(1 - x) = (0,98 - 0,95)x + 0,95

P(C) = 0,03x + 0,95


2. On constate que 95% des tablettes sont commercialisabls, soit P(C) = 0,96

P(C) = 0,96 ↔ 0,03x + 0,95 = 0,96

↔ x = (0,96 - 0,95) / 0,03 = 0,01/0,03 = 1/3 ↔ P(A) = 1/3

P(B) = 1-P(A) = 1- 1/3 = 2/3 = 2 × 1/3

Donc P(B) = 2P(A)


PARTIE B

Une machine électronique mesure la teneur en cacao d'une tablette en chocolat. Sa durée de vie, en années, peut être modélisée par une variable aléatoire Z suivant une loi exponentielle de paramètre λ


Rappels : 

Soit X une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre λ. Alors : 

E(X) = 1/λ

P(X>a) = e-λa


1. La durée de vie moyenne de ce type de machine est de 5 ans. Déterminons le paramètre λ de la loi exponentielle.

E(Z) = 5 or E(Z) = 1/λ d'où 1/λ=5 ↔ λ=1/5


2. P(Z>2) = e-1/5 × 2 = e-2/5 ≈ 0,67


3. Sachant que la machine de l'atelier a déjà fonctionné pendant 3 ans, quelle est la probabilité que sa durée de vie dépasse 5 ans ?


PROBABILITÉ CONDITIONNELLE :

PA(B) = P(A ∩ B) / P(A)


P(A>3)(Z>5) = P(Z>3 ∩ Z>5) / P(Z>3)

= P(Z>5)/P(Z>3) = e-1/5 × 5 / e-1/5 × 3 = e-1 / e-3/5 = e-1+ 3/5

P(Z>3)(Z>5) = e-2/5 ≈ 0,67


PARTIE C

On note X la variable aléatoire donnant la teneur en cacao, exprimée en pourcentage, d'une tablette de 100g de chocolat commercialisable.

On admet que X suit la loi normale d'espérence μ=85 et d'écart type σ=2


1. À l'aide de la calculatrice, on obtient : 

P(83 ≤ X ≤87) ≈ 0,682

La probabilité que la teneur en cacao soit différente de plus de 2% du pourcentage annoncé sur l'embalage est :

1-0,682=0,318


2. Une valeur approchée au centième du réel a tel que P(85-a ≤ X ≤ 85+a)=0,9 est : a≈3,29

Remarque : Dans cet exercice, on demande bien "une valeur approchée", les estimations et donc réponses peuvent varier d'un candidat à l'autre

D'après la question 1, P(83 ≤ X ≤87) = P(85-σ ≤ X ≤ 85+σ) ≈ 0,682

De plus, P(85-2σ ≤ X ≤ 85+2σ) = P(81 ≤ X ≤ 89) = 0,9545

Donc :

Puis avec la calculatrice, on remarque que aϵ[1,59 ; 1,6] on déduit la valeur correspondant au centième.

 


3. Estimation.

On veut tester l’hypothèse « p=0,9 » (90 % des tablettes ont un pourcentage de cacao appartenant à l’intervalle [81,7 ; 88,3] )

Dans l’échantillon des tablettes prélevées ƒ = 550-80 / 500 = 47/55 ≈ 0,85

n = 550 ≥ 30, np ≥ 5 et n(1-p)≥5

L'intervalle de fluctuation est I=[p-1,96 × (√p(1-p))/√n ; p+1,96 × (√p(1-p))/√n] = [0,89 ; 0,90]

ƒ ≈ 0,85 ∉ I

Donc on rejette l'hypothèse qelon laquelle 90% des tablettes ont un pourcentage de cacao appartenant à l'intervalle [81,7 ; 88,3]


EXERCICE 2 (3POINTS)

On munit le plan complexe d’un repère orthonormé direct


1. (E):z2-6z+c=0 où c est un réel strictement supérieur à 9.

a. Justifier que (E) admet deux solutions complexes non réelles.

Δ = b2-4ac = (-6)2-4c = 36-4c

Comme c>9 alors 4c>36 ↔ -4c<36 ↔ 36-4c<0

Donc Δ<0. L'équation (E) admet donc deux solutions complexes non réelles.


b. Les solutions de (E) sont :

ZA=3+i√c-9

Et


2. On note A et B les points d’affixes respectives ZA et ZB.

OA = OB donc le triangle OAB est isocèle en O.


3. Le triangle OAB est rectange si et seulement s'il existe c>9 tel que AB2=OA2+OB2

AB2 = OA2 + OB2 ↔ 4(c-9) = 2c ↔ 4c - 36 = 2c ↔ 2c = 36

↔ c = 18

Donc pour c = 18, le triangle AOB est rectangle en O.


EXERCICE 3

On admet que C est la courbe représentative de la fonction ƒ définie sur l’intervalle [-2,5 ; 2,5] par ƒ(x)=ln(-2x2 + 13,5)

L’objectif est de déterminer une valeur approchée, au mètre carré près, de l’aire de la zone de creusement.

1. Calculer ƒ(x) pour x ∈ [-2,5 ; 2,5]

ƒ(x)=ln(u) avec u(x)=-2x2 + 13,5

ƒ'(x)=u'/u= -4x / (-2x2 + 13,5) 


2. Dresser, en justifiant, le tableau de variation de la fonction ƒ sur [-2,5 ; 2,5].

En déduire le signe de ƒ sur [-2,5 ; 2,5].


Tableau de variation de ƒ :

-2x2 + 13,5 > 0 ↔ 2x2 <13,5 ↔ x2 < 6,75

↔ x ∈ [-√6,75 : √6,75] x ∈ [-2,598 ; 2,598]

Pour tout x ∈ [-2,5 ; 2,5] , -2x2 + 13,5 > 0

ƒ' est donc du même signe que -4x

-4x > 0 sur [-2,5 ; 0] et -4x < 0 sur [0 ; 2,5]

ƒ(-2,5) = ƒ(2,5) = 0 et ƒ(0) = ln(13,5) ≈ 2,603 

D'où le tableau de variation :

Signe de ƒ :

D'après le tableau de variation, on remarque que ∀ x ∈ [-2,5 ; 2,5]

0 ≤ ƒ(x) ≤ ln(13,5)

La fonction ƒ est positive sur x ∈ [-2,5 ; 2,5]


PARTIE B : AIRE DE LA ZONE DE CREUSEMENT

1. La courbe C est un arc de cercle de centre O, si et seulement si tous les points de la courbe sont équidistants de O.

Comme les points (-2,5;0) et (2,5;0) appartiennent à C, alors tous les points devraient être à une distance de 2,5 unités du point O.

Or, on remarque sur ƒ(0)=ln(13,5)≠2,5.

La courbe C n'est donc pas un arc de cercle de centre O.

Remarque : l'équation d'un cercle de centre O est de la forme x2 + y2 = R, ce qui ne correspond pas à la fonction ƒ. La courbe C ne peut donc pas être un arc de cercle de centre O.

Dans le calcul d'aire avec les intégrales, faire la distinction entre unités d'aires et unités.


2. ƒ est une fonction continue et positive sur [-2,5;2,5].

L'aire de la zone de creusement est celle du domaine délimité par la courbe C, l'axe des abscisses et les droites d'équations x=-2,5 et x=2,5.

En unités d'aire, cela correspond à l'intégrale :

(Relation de Chasles)

Or,  car C est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées du repère.

D'où

En m2 :

On est dans un repère orthonormal, d'unité 2m soit 2×2=4m2

L'aire en m2 est donc


2.a. Tableau complété


2b. D'après le tableau,  or d'après la question 2, l'aire en m2 est :


EXERCICE 4 (5 POINTS)

CANDIDATS AYANT PAS SUIVI L’ENSEIGNEMENT DE SPECIALITE

u0=v0=1

un+1=2un+3vn

vn+1=2un+vn

On admettra que les termes de ces suites sont des entiers naturels non nuls.


PARTIE A : CONJECTURES

1. Formules saisies

B3 = 2*B2+3*C2

C3 = 2*B2+3*C2


2. PGCD(un;vn)=1


3. La suite (un/vn) semble converger vers 3/2


PARTIE B : ÉTUDE ARITHMÉTIQUE

1. Par récurrence : 2un-3vn=(-1)n+1

Initialisation : Pour n=0, 2un-3v= 2-3 = -1 =(-1)0+1

Hérédité : Soit k un entier naturel. Supposons que (Pk) est vraie (2uk-3vk=(-1)k+1) et montrons que (Pk+1) est vraie, cad que :

2uk+1-3vk+1=(-1)k+2

2uk+1-3vk+1=2(2un+3vn)-3(2un+vn)

= 4un+6vn-6un-3vn = -2un-3vn

= -(2un+3vn) = -(-1)k+1 = (-1)k+2

2uk+1-3vk+1 = (-1)k+2 donc la propriété est héréditaire.

Conclusion : La propriété (Pn) est initialisée au rang 0 et héréditaire, elle est donc vraie pour tout entier naturel n : "2un-3vn=(-1)n+1"


2. On a 2un-3vn=(-1)n+1

- Si n est pair, alors n+1 est impair et on a 2un-3vn=-1

3vn-2un=1

Donc d'après le théorème de Bézout, un et vn sont premiers entre eux. Par conséquent, PGCD(un;vn)=1

- De façon similaire, si n est impair, alors 2un-3vn=1 donc un et vn sont premiers entre eux. Par conséquent, PGCD(un;vn)=1

Donc ∀ n ∈ ℕ, PGCD(un;vn)=1


PARTIE C : ÉTUDE MATRICIELLE

1.a.  


1.b. On admet que, pour tout entier naturel n, Xn=QnP-1X0

u0=v0=1

 

2.a. 

 

2.b. 


EXERCICE 5 (3 POINTS)

On considère un cube ABCDEFGH. L'espace est rapporté au repère

P le plan d'équation x + (1/2)y + (1/3)z - 1 = 0

Le plan P occupe : 

- La droite (AB) au point B(1;0;0) ∈ P car 1 + (1/2)×0 + (1/3)×0 - 1 =0

- La droite (AD) au point (0;2;0)

- La droite (AE) au point (0;0;3)

D'autre part, P coupe (CD) au point (1/2 ; 1 ; 0) ; (EF) au point (2/3 ; 0 ; 1) représentés en rouge sur la figure.

Fin de l'extrait

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