Calcul de la puissance nième d'une matrice carrée

Calcul de la puissance nième d'une matrice carrée

Cette fiche de révision a été conçue par notre professeur pour vous aider à revoir vos cours de spécialité mathématiques. Elle porte sur le chapitre : calcul de la puissance nième d'une matrice carrée.

 

I - Introduction 

Calculer des...
Document rédigé par un prof Calcul de la puissance nième d'une matrice carrée

Le contenu du document

Cette fiche de révision a été conçue par notre professeur pour vous aider à revoir vos cours de spécialité mathématiques. Elle porte sur le chapitre : calcul de la puissance nième d'une matrice carrée.

 

I - Introduction 

Calculer des puissances de matrices de petite taille est possible facilement (avec une calculatrice ou mentalement), calculer des puissances de matrices de grande taille devient souvent un vrai casse-tête si l'on ne dispose pas de logiciels adaptés.
Cependant certaines astuces permettent bien souvent de diminuer la difficulté du calcul, même pour des matrices de grande taille.

II - Matrices triangulaires

1 - Le cas triangulaire supérieur

Considérons la matrice A suivante :
On remarque que cette matrice possède uniquement des « 0 » sur sa partie inférieure gauche (sous la diagonale à gauche), cette matrice peut alors être appelée « matrice triangulaire supérieure ». Le mot supérieur vient du fait que les coefficients de la matrice triangulaire sont situés « au-dessus » de la diagonale.
Si l'on fait le carré de A, on obtient également une matrice triangulaire supérieure :
Si l'on continu, on remarque que A au cube est aussi une matrice triangulaire supérieur, et il en est de même pour toute les puissances entière strictement positive de A.
On peut donc donner comme propriété à la matrice :
Pour A une matrice triangulaire on a pour tout n ?0, A n à la puissance n triangulaire.

2 - Les matrices nilpotentes

Il existe certaines matrices dites « strictement triangulaire », elles sont triangulaires mais ont en plus la particularité d'avoir également les coefficients de leur diagonale nuls.
Exemple d'une matrice strictement triangulaire :
La particularité de ces matrices strictement triangulaire est qu'elles ont leurs coefficients nuls à compter de la puissance n, avec n ordre de la matrice, de la matrice au plus. Par exemple si l'on met au carré la matrice si dessus on obtient :
Puis au cube :
A retenir : Les matrices dont les puissances sont nulles à partir de l'une d'entre elles sont dites «  matrices nilpotentes ».

III - Matrices diagonales

Les matrices diagonales sont des matrices qui ont uniquement des coefficients différents de 0 sur leur diagonale (Tous les autres coefficients valent 0).
Exemple de matrice diagonale :
Lorsque l'on calcule une puissance de la matrice il suffit de calculer les puissances des coefficients diagonaux.

IV - Les matrices creuses

Les matrices dites « creuses », sont celles dont beaucoup de coefficients sont nuls.
Par exemple la matrice suivante :
Il est intéressant de repérer ces matrices, car on peut les stocker informatiquement beaucoup plus facilement : on ne stocke que les coefficients différents de zéro. Beaucoup de problèmes de physique et de simulation numérique utilisent des matrices creuses.

V - Multiplication de matrices par blocs

Il est possible de calculer le produit de deux matrices en plusieurs étapes. On découpe les matrices en sous matrices appelées blocs. On calcule le produit en considérant uniquement les blocs. Puis on calcule chaque bloc résultat.
On va considérer 2 matrices carrées A et B chacune de format (4,4) :
On a choisi de « couper chacune des matrices en 4 blocs (délimités par les pointillés verticaux et horizontaux) pour isoler chacun de ces blocs et faire les calculs plus simplement.
Exemple du calcul de bloc 
Soit les deux blocs :
On fait leur produit  et on peut prolonger les calculs aux autres blocs:

VI - Diagonalisation d'une matrice carrée (à l'ordre 2)

On considérera que les matrices présentées sont à coefficients réels.
Définition : Une matrice carrée A est dites « diagonalisable » si il existe une matrice carrée P inversible et des réels ? et ? tels que
Il est possible d'écrire cette équation sous la forme suivante :
Comme D est diagonale on peut écrire pour simplifier les calculs :
Pour que la matrice A soit diagonalisable on va chercher une condition.
On note :
D'après notre égalité de départ on peut écrire que :
Ce qui nous donne :
On peut obtenir un système en posant U et V deux matrices colonnes (ou vecteurs) :
Comme on a l'égalité AxP=PxD on peut donner une équivalence en posant le système suivant :
Or nous savons que P doit être inversible (ce qui est le cas uniquement si ad-bc?0), il est donc essentielle que U et V ne soient pas proportionnelles (autrement dit les vecteurs (a, c) et (b, d) ne sont pas colinéaires).
Or si U et V ne sont pas proportionnels elles ont leurs coefficients nécessairement non nuls.
Conclusion de la condition pour diagonaliser A :
Une matrice carrée A d'ordre 2 est diagonalisable si et seulement si il existe deux réels ? et ? et deux matrices colonnes à coefficients réels non proportionnelles U et V tel que :
Remarque : On appelle les réels ? et ?, les valeurs propres de la matrice A.
Remarque : toutes les matrices carrées d'ordre 2 ne sont pas diagonalisables
Exemple:
On cherche A = PDP -1. On peut trouver que
Avec
,
-1 et 3 sont les valeurs propres de A.
Exemple de matrice non diagonalisable :
Fin de l'extrait

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