Opérations booléennes - Spé ISN - Terminale S

Opérations booléennes - Spé ISN - Terminale S

Les opérations booléennes sont la base des opérations arithmétiques binaires qui permettent le fonctionnement de nos ordinateurs.

Opérations booléennes - Spé ISN - Terminale S

Le contenu du document

Prérequis

Connaître la représentation de l'information numérique.

Objectifs

Après lecture de cette fiche, tu connaîtras les fonctions logiques élémentaires.

I. Introduction

Un ordinateur est une machine qui traite de l'information représentée par des nombres binaires. Du point de vue de l?ordinateur, chaque traitement consiste en une opération mathématique, comme par exemple addition, soustraction, multiplication ou division.

1c2950be-63a9-4635-a06a-233dbd2bd369Georges Boole

 

Georges Boole (1815-1864) a créé la logique moderne, fondée sur une structure algébrique et sémantique, appelée algèbre de Boole. Cet algèbre binaire n'accepte que deux valeurs numériques : 0 et 1. Cette algèbre aura de nombreuses applications en téléphonie et en informatique, notamment grâce à Claude Shannon en 1938, près d'un siècle plus tard.

II. Classification des fonctions logiques

Les fonctions logiques combinatoires directement issues des mathématiques (algèbre de Boole) sont les outils de base de l'électronique numérique et de l'informatique. Elles sont mises en oeuvre en électronique sous forme de portes logiques.

Ainsi, les circuits électroniques calculent des fonctions logiques de l'algèbre de Boole. Ces portes électroniques sont construites à partir de plusieurs transistors connectés de manière adéquate.

 

2806aaeb-c8e2-460f-942a-c84de92db461_w757h289Circuit intégré 7432 composé de 4 portes logiques "OU"

A.  Niveau logique

En algèbre de Boole, une donnée (en entrée ou en sortie) n'a que deux niveaux possibles (0 ou 1 en informatique).

Dans le cas de circuits électroniques et informatiques, les deux niveaux sont représentés par des niveaux de tensions électriques, comme 0V pour '0' et 5 Volts pour '1' (niveaux TTL).

 

B.   Fonctions logiques élémentaires

Les portes logiques les plus courantes sont les suivantes :

-       PORTE NON

-       PORTE ET (AND)

-       PORTE OU (OR)

-       PORTE NON ET (NAND)

-       PORTE NON OU (NOR)

-       PORTE OU EXCLUSIF (XOR)

C.   Tables de vérité

Une table de vérité exprime l'état logique de la sortie S en fonction des niveaux logiques de l'entrée A ou des entrées A et B.

 

53d597ce-62e8-4792-8253-037ffd8cb343Table de vérité

Dans l'exemple ci-dessus :

  • Si un 0 est appliqué sur l'entrée, la sortie sera au niveau 1
  • Si un 1 est appliqué sur l'entrée, la sortie sera au niveau 0

Il s'agit de la table de vérité de la fonction NON. Cette fonction inverse la valeur de l'entrée.

D.  Symbole

Chaque fonction logique a son symbole, que l'on retrouvera sur des schémas logiques ou sur des circuits intégrés (cf Illustration : Circuit intégré 7432 composé de 4 portes logiques 'OU'). Il existe deux symboles à connaître : les américains et les européens.

 

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On peut remarquer sur les symboles ci-dessus le petit rond du côté de la sortie qui signifie « inversion ».

 

III. Fonctions logiques et tables de vérité

Nous allons détailler les fonctions logiques les plus courantes.

A. Porte ET

Il faut que les deux entrées A et B soit à 1 pour que la sortie soit à 1

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B. Porte OU

Cette porte est l'inverse d'une porte ET. La sortie est à 1 pour toutes les combinaisons sauf lorsque A et B sont à 1.

 

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C. Porte NON OU (NOR)

Cette porte est l'inverse d'une porte OU. La sortie est à 1 seulement lorsque A et B sont à 0.

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D. Porte OU EXCLUSIF (XOR)

Il faut qu'une seule des deux entrées soit à 1 pour que la sortie soit à 1.

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IV. Opération Booléenne dans un ordinateur : L'additionneur

Les portes logiques étudiées ci-dessus sont utilisées en électronique et informatique pour fabriquer les fonctions élémentaires, comme additionner deux données ou stocker une donnée dans une case mémoire.

Nous allons illustrer le propos en étudiant le schéma d'un demi-additionneur, un circuit logique permettant d'effectuer une addition.

A. Addition binaire

Les additions avec des nombres binaires obéissent aux mêmes règles que l'arithmétique classique.

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Notez qu'écrire que 1+9 = 10 revient à marquer la dizaine (par le 1) et revenir au premier de mes 10 symboles disponibles en écriture décimale.

De même, écrire que 1 + 1 = 10 revient à marquer la dizaine (par le 1) et revenir au premier de mes 2 symboles disponibles en écriture binaire.

B. Le demi-additionneur

Selon le principe de l'addition binaire, voici la table de vérité d'une addition logique sur un bit.

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On peut noter que la retenue correspond à la fonction ET et que l'addition A+B correspond à la fonction OU EXCLUSIF.

Cette table de vérité se traduit par l'assemblage de porte logique suivante :

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V. Logique Booléenne dans la vie courante

Lorsque Georges Boole a travaillé sur son algèbre, il ne pouvait pas se douter des applications de celle-ci un siècle plus tard. C'est le mathématicien Claude Shannon, père fondateur de la théorie de l'information, qui a la première fois utilisé la logique booléenne dans les circuits de commutations.

Boole pensait utiliser son algèbre à la résolution de problèmes mathématiques algébriques par la logique, il était logicien.

Nous utilisons naturellement son algèbre dans la vie de tous les jours, notamment lorsque nous faisons des recherches.

Par exemple dans la recherche avancée de Google, je peux chercher tous les livres qui parlent des chats et qui sont en couleurs.

Ou encore, je suis au restaurant et, sur le menu que j'ai commandé je peux choisir « fromage » OU « dessert ». Ce OU est exclusif.

On peut noter que les résultats des moteurs de recherches appliquent automatiquement un ET logique entre chacun des termes de ma recherche (ex : Shannon théorie information : 7 040 000 résultats).

Si je veux chercher au moins un des termes (et donc appliquer un OU logique), il faut que je sépare chacun des termes par le mot « OR » (Ex : Shannon OR théorie OR information 8 370 000 000 résultats).

LE PETIT + DANS TA COPIE

Etudie la biographie de Claude Shannon pour découvrir plus en détail comment ses travaux sur la théorie de l'information ont révolutionné notre monde !

POUR ALLER PLUS LOIN

Tu peux lire la bande dessinée Logicomix pour découvrir l'histoire de la logique dans les mathématiques.

Fin de l'extrait

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