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Torseurs - Cours, Définitions

Torseurs - Cours, Définitions

Le torseur est un outil mathématique très utile en Sciences de l'ingénieur pour traiter les études de cas de mécanique du solide. Notre professeur de SI vous propose de réviser cette notion grâce à sa fiche de cours gratuite récapitulant pour...

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Quiz de Sciences de l'ingénieur :

Qu'est-ce qu'un système de tension triphasée ?

  • A.Un ensemble de deux tensions alternatives qui ont la même valeur efficace
  • B.Un ensemble de deux tensions alternatives qui n'ont pas la même valeur efficace
  • C.Un ensemble de trois tensions alternatives qui n'ont pas la même valeur efficace
  • D.Un ensemble de trois tensions alternatives qui ont la même valeur efficace
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Le contenu du document

Le torseur est un outil mathématique très utile en Sciences de l'ingénieur pour traiter les études de cas de mécanique du solide. Notre professeur de SI vous propose de réviser cette notion grâce à sa fiche de cours gratuite récapitulant pour vous tout ce qu'il faut savoir des torseurs !

I - Introduction

1 - Définitions

Commençons par définir la notion de torseur. Il s'agit d'un outil mathématique que l'on utilise de façon majeure dans les domaines de la mécanique du solide indéformable. L'objectif de cet outil est de permettre une description des mouvements des solides et des actions mécaniques qu'ils subissent de la part d'un environnement extérieur. On considère un ensemble fini de vecteurs glissants , qui constituent un torseur. Donnons maintenant quelques définitions associées à cette notion.
En un point de l'espace, on dénomme élément de réduction d'un torseur en ce point :
  • la résultante générale notée, dont l'équation est la suivante :
  • le moment résultant, dont l'équation est la suivante :
Ainsi, on peut également préciser le torseur qui est associé au champ de vecteur :
Cette équation peut être simplifiée de la façon suivante, car le torseur comporte six composantes :
Si on décide de changer le point de réduction du torseur en prenant par exemple le point , on obtiendrait l'équation suivante :

2 - Opérations

Voyons maintenant quelques opérations courantes pouvant être effectuées sur les torseurs. Tout d'abord, pour ce qui est de l'égalité de deux torseurs, on dit qu'ils sont égaux s'ils ont les mêmes éléments de réduction en un point donné. La réciproque est également vraie, c'est-à-dire que s'ils ont les même éléments de réduction en un point donné, alors ils sont égaux. Nous avons ainsi l'équation suivante :
Prenons maintenant le cas du torseur nul. On dit tout simplement qu'un torseur est nul si ses éléments de réduction en un point sont nuls. Autrement dit, ces éléments de réductions sont alors nuls en tout point.
Autre opération courante : l'addition de deux torseurs. Si on additionne deux torseurs dont les éléments de réduction en un point sont connus, on obtient l'équation suivante :
Parlons maintenant de la multiplication d'un torseur par un nombre réel noté . On a l'équation suivante :
Enfin, dernière opération courante que nous allons aborder, le produit de deux torseurs. Ce nombre est invariant, c'est-à-dire qu'il est indépendant du point où l'on prend les éléments de réduction des torseurs. On l'appelle aussi comoment. Voici son équation :

II - Propriétés

1 - Equiprojectivité

Si l'on considère un torseur défini comme précédemment, on a l'équation suivante du moment de ce torseur au point  :
Ainsi, si on effectue le produit scalaire du moment par le vecteur , on obtient alors :
On appelle cette relation la propriété d'équiprojectivité du champ, qui est d'ailleurs la façon la plus fondamentale de définir un torseur. Cette propriété est également appelée loi de transfert des moments.

2 - Axe d'un torseur

Venons-en à la deuxième propriété des torseurs : l'axe. Si l'on considère un torseur comme ceux vus précédemment, alors on peut dire que les points tels que soit colinéaire à forment une droite que l'on appelle axe central du torseur. Pour tout torseur donné, cet axe central possède deux propriétés : il existe et est unique, mis à part dans un cas particulier où la résultante est nulle.

III - Torseurs courants

En mécanique, plusieurs torseurs sont utilisés couramment, dont voici la liste avec quelques explications pour chacun d'entre eux.
Tout d'abord, le torseur statique, aussi appelé torseur d'action. On l'utilise pour modéliser des actions mécaniques et résoudre des problèmes grâce au principe fondamental de la statique. On peut citer les liaisons suivantes faisant référence à la notion de torseur statique : liaison ponctuelle, liaison linéaire-rectiligne, liaison-annulaire, rotule, pivot-glissant, appui-plan, pivot, glissière, hélicoïdale, rotule à doigt, encastrement.
Il y a ensuite le torseur cinématique, que l'on utilise essentiellement dans le but de décrire et modéliser les comportements de translation et de rotation d'un solide donné. En général, on considère un repère orthonormé direct. Ce torseur est entièrement défini par l'intermédiaire de deux vecteurs : le vecteur rotation ( ) et le vecteur vitesse ( ), comme le montre cette équation :
Vient également le torseur cinétique. Il sert quant à lui à calculer l'énergie cinétique d'un système donné, exprimée en Joules. Il est noté de la manière suivante :
Avec qui représente la quantité de mouvement du solide et le moment cinétique.
Enfin, on utilise le torseur dynamique, notamment lors de l'application du principe fondamental de la dynamique. On le note de la façon suivante :
Avec qui représente la quantité d'accélérations et le moment dynamique.
Fin de l'extrait

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Les avis sur ce document

sesandrine
1 5 0
4/20

trop brouillon , pas assez claire . plus d exemple

par - le 29/11/2016
1SSI
5 5 0
20/20

Très peu didactique. Seul l'aspect mathématique est abordé. Dommage !

par - le 07/05/2016
Demopy
5 5 0
20/20

Parfait !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

par - le 18/02/2016
Plus d'avis (4)

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