Modéliser : Valider un modèle - Sciences de l'Ingénieur - Terminale S

Modéliser : Valider un modèle - Sciences de l'Ingénieur - Terminale S

Consultez gratuitement ce cours de Sciences de l'ingénieur de Terminale S, rédigé par notre professeur, sur le chapitre "Valider un modèle" issu du thème "Modéliser".

Vous étudierez tout d'abord les modèles en thermodynamique, en mécanique, en électronique et en mécatronique, puis vous verrez que valider un modèle, c'est démontrer sa capacité à décrire le système réel et confirmer des choix. Vous vous pencherez donc sur la simulation avec un exemple de la simulation sur un modèle multiphysique d'un piston entrainé par un moteur électrique, puis vous aborderez l'expérimentation.

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Modéliser : Valider un modèle - Sciences de l'Ingénieur - Terminale S

Le contenu du document

 

INTRODUCTION

La démarche de l’ingénieur du bureau d’étude contient une phase importante de modélisation. Reposant sur des outils mathématiques et des logiciels, la modélisation nous permet de simuler le comportement physique du système. La modélisation nous offre également l’opportunité de faire varier simplement et rapidement des constantes des éléments constitutifs de notre solution ce qui permettra de faciliter le dimensionnement et le choix de ces derniers.

La conception de systèmes mécaniques, électriques, … nécessite des phases de modélisation permettant de modifier de manière itérative la conception initiale. 

Cette modélisation s’accompagne souvent d’un maquettage de la solution technique puis d’un prototype permettant de valider différents éléments du cahier des charges.

La phase de validation du modèle est essentielle pour confirmer la pertinence du modèle choisit en le confrontant avec l’expérimentation. En effet, les modèles mathématiques qui sous-tendent la modélisation donnent parfois des résultats absurdes et seule l’expérimentation nous permet de valider nos choix de modélisation.

 

LES MODELES

La modélisation est définie comme « l’opération par laquelle on établit le modèle d'un système complexe, afin d'étudier plus commodément et de mesurer les effets sur ce système des variations de tel ou tel de ses éléments composants ». 

L’utilisation des modèles nous permettent donc de faire des calculs simples. Il faut garder à l’esprit que le modèle n’est pas la réalité, elle en est une approximation mathématique nous permettant de travailler. A titre d’illustration, nous pouvons citer quelques modélisations classiques :

 

EN THERMODYNAMIQUE

Le modèle des gaz parfait :

PV = nRT

Ce modèle nous fourni une relation simple reliant les variables d’état d’un gaz. Ce modèle décrit bien les gaz peu denses. Il est valable sous les hypothèses suivantes : 

molécules = sphères dures de diamètre négligeable.

Seuls les chocs élastiques avec la parois sont pris en compte

Isotropie des vitesses des molécules

 

Modèle de Van der Waals

Modèle de Van der Waals - Valider un modèle - Cours SI Terminale S

a :  le terme de cohésion (constant) ;

b : covolume molaire (constant) ;

n :  la quantité de matière (nombre de moles) ;

P :   la pression ;

R :  la constante universelle des gaz parfaits ;

T :   la température absolue ;

V :  le volume.

 

Le modèle de Van Der Waals affine le modèle des gaz parfait et permet de décrire plus précisément les gaz réels. Il s’agit d’un perfectionnement du modèle des gaz parfaits prenant en compte le volume propre des molécules.

 

EN MECANIQUE

Les ressorts de traction/compression est un modèle linéaire simple qui décrit convenablement le comportement des ressorts dans une gamme limité de déplacement :

Modèle linéaire du ressort - Valider un modèle - Cours SI Terminale S

Figure 1 Modèle linéaire du ressort

 

La modélisation des systèmes mécaniques par des liaisons mécaniques simples et l’approche torsorielle est également un système de modélisation des mécanismes qui nous permet de dimensionner et choisir les éléments dans un système mécanique : 

Modélisation cinématique des liaisons - Cours SI Terminale S

Figure 2 Liaisons mécaniques élémentaires et torseurs associés

 

La modélisation 3D des pièces et assemblage grâce aux logiciels de conception assistés par ordinateur (Solidworks, Catia, Fusion 360, FreeCad, …) font également partie de ce que l’on nomme modélisation par le simple fait que le fichier numérique obtenu est une représentation mathématique/algorithmique qui représente/approxime la réalité.

Modélisation 3D sur SolidWorks - Valider un modèle - Cours SI Terminale S

Figure 3 Modélisation d'une main robotisée sur SolidWorks

 

EN ELECTRONIQUE

La modélisation des composants électronique nous permette de concevoir des circuits simples et de réaliser des calculs. On peut citer, par exemple, la source idéale de tension dans laquelle on négligera la résistance interne : 

Modèle d'une source idéale de tension - Valider un modèle - Cours SI Terminale S

Figure 4 Modèle d'une source idéale de tension

 

Modèle d’une résistance idéale

Expression mathématique : 

Modèle d'une résistance idéale - Valider un modèle - Cours SI Terminale S

ρ étant la résistivité en ohm-mmètre (Ω.m)

L la longueur en mètre (m)

S la section en mètres carrés (m2)

 

Caractéristique courant-tension

Caractéristiques courant-tension - Valider un modèle - Cours SI Terminale S

Figure 5 Caractéristique tension courant d'une résistance réelle vs idéale

 

Filtres : 

4 types de filtres fondamentaux et leur modèle idéal - Valider un modèle - Cours SI Terminale S

Figure 6 Les quatre types de filtres fondamentaux et leur modèle idéal

 

EN MECATRONIQUE 

Les solutions techniques innovantes ne contiennent rarement que des éléments mécaniques, électroniques ou informatiques. La mécatronique propose une approche plus globale et synergique des systèmes. 

Les domaines de la mécatronique - Valider un modèle - Cours SI Terminale S

Figure 7 Les domaines de la mécatronique

Cette discipline étudie les systèmes complexes dont un exemple est le moteur électrique et sa modélisation. Les moteurs à courant continus peuvent, en première approximation, être modéliser de la manière suivante : 

Modèle d'un moteur à courant continu - Valider un modèle - Cours SI Terminale S

Figure 8 Modèle d'un moteur à courant continu

 

VALIDER UN MODELE

Valider un modèle c’est démontrer sa capacité à décrire le système réel et confirmer les choix techniques réalisés. Pour cela, plusieurs procédés s’offrent à nous. Nous pouvons, grâce à des logiciels, simuler le comportement de notre système dont la modélisation aura été préalablement renseignée. Aussi, nous pouvons confronter notre modèle à un prototype fonctionnel.

Différence entre modèle et système réel - Valider un modèle - Cours SI Terminale S

Figure 9 Différence entre modèle et système réel

 

LA SIMULATION

La simulation est définie comme étant « la reproduction artificielle du fonctionnement d'un appareil, d'une machine, d'un système, d'un phénomène, à l'aide d'une maquette ou d'un programme informatique, à des fins d'étude, de démonstration ou d’explication ». La simulation met donc en œuvre le modèle établi du système étudié pour déterminer son fonctionnement théorique. La simulation nous permet donc de quantifier une grandeur d’intérêt et nous permet de faire varier les paramètres de notre modélisation pour obtenir des valeurs acceptables par notre cahier des charges.

 

Mécanique des fluides

A partir d’une modélisation 3D d’un élément mécanique et de puissants modèles mathématiques décrivant l’évolution des fluides, on peut simuler le comportement d’un système et vérifier son aérodynamisme, évaluer les efforts mis en jeu (portance, traine, …), …

Analyse par mécanique des fluides virtuels sur ANSYS - Valider un modèle - Cours SI Terminale S

Figure 10 Analyse par mécanique des fluides virtuels sur ANSYS

Modélisation sur FlowSimulation de SolidWorks - Valider un modèle - Cours SI Terminale S

Figure 11 Modélisation sur Flow Simulation de SolidWorks

 

Thermique :

L’analyse thermique des structures permet de simuler la dissipation thermique des éléments mécaniques en frottement, de dimensionner des radiateurs et les circuits de refroidissement, …

Analyse thermique d'un système de freinage - Valider un modèle - Cours SI Terminale S

Figure 12 Analyse thermique d'un système de freinage

 

Mécanique :

Le modèle des éléments finis est un modèle mathématique nous permettant de simuler la relation contrainte/déformation dans les éléments mécaniques : 

Simulation par éléments finis sur SolidWorks - Valider un modèle - Cours SI Terminale S

Figure 13 Simulation par Eléments finis sur SolidWorks

 

EXEMPLE DE LA SIMULATION SUR UN MODELE MULTIPHYSIQUE D’UN PISTON ENTRAINE PAR UN MOTEUR ELECTRIQUE

Piston - Valider un modèle - Cours SI Terminale S

Figure 14 Piston

Système bielle-manivelle - Valider un modèle - Cours SI Terminale S

Figure 15 Système bielle-manivelle

La modélisation multiphysique exprime les transferts d’énergie grâce à des couples efforts-flux. 

Domaine Effort (e) Flux (f)
Electrique Tension (V) Courant (A)
Mécanique en translation Effort (N) Vitesse (m.s-1)
Mécanique en rotation Couple (N.m) Vitesse (rad.s-1)
Hydraulique Pression (Pa) Débit volumique (m3.s-1)
Magnétique Force magnéto-motrice (A) Dérivée flux (V)
Chimique Potentiel Chimique (J.mol-1) Flux molaire (mol.s-1)
Thermodynamique Température (K) Flux entropique (W.K-1)
Acoustique Pression (Pa) Débit acoustique (m3.s-1)

La chaîne énergétique du piston entrainé par un moteur électrique fait donc appel aux domaines de l’électricité pour le moteur, de la mécanique en rotation pour la bielle, de la mécanique en transalation pour le piston et même de l’hydraulique pour le cylindre (non représenté ici)

Chaine énergétique du piston - Valider un modèle - Cours SI Terminale S

Figure 16 : Chaîne énergétique du piston

 

Modélisation cinématique du système bielle manivelle (roue excentrique) :

Schéma cinématique du système bielle-manivelle - Cours SI Terminale S

Figure 17 Schéma cinématique du système bielle-manivelle

 

Modélisation mathématique de la loi entrée sortie

Modélisation mathématique de la loi entrée sortie - Cours SI Terminale S

Avec : 

Excentricité : e=AO

Longueur de la bielle : I=AB

 

Modélisation sur le logiciel de calcul SCILAB

Représentation du SCILAB de l'équation mathématique - Cours SI Terminale S

Figure 18 : Représentation sur SCILAB de l'équation mathématique

 

Cours SI Terminale S

 

Résultat de la simulation

Le résultat de la simulation avec e=0.0048 m et L= 0.020 m nous donne la courbe suivante. Cette courbe est conforme à nos attentes, elle représente bien la position du piston au cours du temps pour l’entrée choisie. On peut donc valider le modèle et vérifier que, par exemple, l’amplitude de la sortie est conforme à notre cahier des charges.

Résultat de simulation - Cours SI Terminale S

Figure 19 Résultat de la simulation sur SCILAB

 

Cette modélisation pourra s’intégrer dans la modélisation d’un système complet et nous permettra d’ajuster les différents paramètres dimensionnels du système bielle-manivelle pour obtenir une course de piston optimisée.

 

L’EXPERIMENTATION

La réalisation de prototypes fonctionnels de notre solution technique peut nous permettre de réaliser des expériences sur banc de test nous permettant de mesurer une grandeur d’intérêt. Les résultats de cette expérimentation nous permettront d’ajuster nos choix techniques pour obtenir des valeurs acceptables par notre cahier des charges. On commence en général par un maquettage « quick and dirty » (carton, …). Cette maquette nous permet de valider rapidement le concept de matérialiser une idée. Ensuite, un prototype plus avancé est nécessaire pour valider l’ergonomie, le design, la fonctionnalité, … de la solution technique. On peut utiliser la fabrication additive (impression 3D) pour réaliser des prototypes mécaniques et des cartes de prototypages Arduino ou Raspberry pour le prototypage électronique. Des logiciels permettent également de prototyper des programmes informatiques ou des applications web.

Expérimentation - Cours SI Terminale S

Figure 20 Banc d'essai pour pâle de drône

 

Les tests nous permettent donc de comparer les résultats expérimentaux et les résultats théoriques et ainsi valider ou non la modélisation.

Comparaison entre un essai en compression et une modélisation en éléments finis sur un fémur - Cours SI Terminale S

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