Ressort et Résonance

Ressort et Résonance

I - Force exercée par un ressort

Un ressort exerce une force proportionnelle à son allongement :
où k est le coefficient de raideur du ressort exprimé en .

1 - Oscillateur élastique

Un oscillateur élastique est un...
Ressort et Résonance

Le contenu du document

<h2 class="import_html">I - Force exerc&eacute;e par un ressort</h2> <div class="import_html"> Un ressort exerce une force <img src="../../docs/import_html/2733/index_html_m7ea6b83f.png" border="0" class="import_html" /> <span class="import_html"> </span>proportionnelle &agrave; son allongement <img src="../../docs/import_html/2733/index_html_6428bdc0.png" border="0" class="import_html" /> : </div> <div class="import_html"> <img src="../../docs/import_html/2733/index_html_m302d541.png" border="0" class="import_html" /> o&ugrave; k est le coefficient de raideur du ressort exprim&eacute; en <img src="../../docs/import_html/2733/index_html_m44224b6d.png" border="0" class="import_html" />. </div> <h3 class="import_html">1 - Oscillateur &eacute;lastique</h3> <div class="import_html"> Un oscillateur &eacute;lastique est un ressort fix&eacute; &agrave; une base elle-m&ecirc;me reli&eacute;e &agrave; un solide mobile. </div> <div class="import_html"> O est la position du centre d'inertie du solide &agrave; l'&eacute;quilibre et M sa position &agrave; un instant t. </div> <div class="import_html"> On choisit un vecteur norm&eacute; <img src="../../docs/import_html/2733/index_html_m57d54196.png" border="0" class="import_html" /> sur l'axe horizontal. </div> <div class="import_html"> Si le ressort est comprim&eacute;, <img src="../../docs/import_html/2733/index_html_m7ea6b83f.png" border="0" class="import_html" /> est vers le solide&nbsp;: </div> <div class="import_html"> <img src="../../docs/import_html/2733/index_html_319bc895.png" border="0" class="import_html" /> </div> <div class="import_html"> Si le ressort est d&eacute;tendu, <img src="../../docs/import_html/2733/index_html_m7ea6b83f.png" border="0" class="import_html" /> est vers le ressort </div> <div class="import_html"> <img src="../../docs/import_html/2733/index_html_118b4397.png" border="0" class="import_html" /> </div> <h2 class="import_html">II - Etude du syst&egrave;me solide-ressort</h2> <div class="import_html"> En l'absence de frottements, les oscillations sont libres et non amorties. </div> <div class="import_html"> Le ressort a une masse suppos&eacute;e n&eacute;gligeable et un coefficient de raideur k. </div> <div class="import_html"> On &eacute;carte le solide de masse m de sa position d'&eacute;quilibre et on le l&acirc;che. </div> <div class="import_html"> Le bilan des forces exerc&eacute;es sur le syst&egrave;me est alors le suivant : </div> <ul class="import_html"> <li class="import_html"> <div class="import_html"> <img src="../../docs/import_html/2733/index_html_3778c07e.png" border="0" class="import_html" /> (en vert): poids du solide. P = m . g , vertical vers le bas. </div> </li> <li class="import_html"> <div class="import_html"> <img src="../../docs/import_html/2733/index_html_4bd718b4.png" border="0" class="import_html" /> (en bleu): Exerc&eacute;e par le plan sur le solide. </div> </li> <li class="import_html"> <div class="import_html"> <img src="../../docs/import_html/2733/index_html_m7ea6b83f.png" border="0" class="import_html" /> (en rouge) : force du ressort sur le solide: <img src="../../docs/import_html/2733/index_html_m13798cfe.png" border="0" class="import_html" /> </div> </li> </ul> <div class="import_html"> On applique la deuxi&egrave;me loi de Newton dans le r&eacute;f&eacute;rentiel terrestre galil&eacute;en auquel on associe le rep&egrave;re orthonorm&eacute; (O, <img src="../../docs/import_html/2733/index_html_m57d54196.png" border="0" class="import_html" />, <img src="../../docs/import_html/2733/index_html_m7198285b.png" border="0" class="import_html" />). </div> <div class="import_html"> <img src="../../docs/import_html/2733/index_html_3778c07e.png" border="0" class="import_html" /> + <img src="../../docs/import_html/2733/index_html_4bd718b4.png" border="0" class="import_html" />+ <img src="../../docs/import_html/2733/index_html_4cc72452.png" border="0" class="import_html" /> </div> <div class="import_html"> Or, <img src="../../docs/import_html/2733/index_html_3778c07e.png" border="0" class="import_html" /> + <img src="../../docs/import_html/2733/index_html_4bd718b4.png" border="0" class="import_html" />= 0 </div> <div class="import_html"> On a donc <img src="../../docs/import_html/2733/index_html_m5f0d5d20.png" border="0" class="import_html" /> (avec <img src="../../docs/import_html/2733/index_html_54435223.png" border="0" class="import_html" /> ) </div> <div class="import_html"> L'&eacute;quation diff&eacute;rentielle du mouvement oscillant sur l'axe Ox s'&eacute;crit donc, en l'absence de frottements&nbsp;: </div> <div class="import_html"> <img src="../../docs/import_html/2733/index_html_m581da1ea.png" border="0" class="import_html" /> </div> <div class="import_html"> On admettra que l'expression&nbsp;suivante est la solution de l'&eacute;quation diff&eacute;rentielle : </div> <div class="import_html"> <img src="../../docs/import_html/2733/index_html_m6f59cf67.png" border="0" class="import_html" /> </div> <div class="import_html"> Avec x&nbsp;: allongement du ressort, <img src="../../docs/import_html/2733/index_html_5505ee14.png" border="0" class="import_html" /> amplitude, <img src="../../docs/import_html/2733/index_html_m6d5bc1e7.png" border="0" class="import_html" /> p&eacute;riode propre de l'oscillateur et <img src="../../docs/import_html/2733/index_html_4d72c79e.png" border="0" class="import_html" /> phase &agrave; l'origine. </div> <div class="import_html"> Et on a&nbsp;: <font face="Times New Roman, serif" class="import_html"><span class="import_html"></span></font> </div> <div class="import_html"> <img src="../../docs/import_html/2733/index_html_62a22133.png" border="0" class="import_html" /> </div> <div class="import_html"> En l'absence de frottements, les oscillations libres d'un oscillateur &eacute;lastique sont donc sinuso&iuml;dales. Le mouvement suit un . </div> <div class="import_html"> Si des frottements existent mais qu'ils sont faibles, le r&eacute;gime est dit et l'amplitude des oscillations diminue au cours du temps. </div> <div class="import_html"> Si des frottements forts sont pr&eacute;sents, le r&eacute;gime est dit et il n'y a pas d'oscillations. </div> <h2 class="import_html">III - R&eacute;sonnance</h2> <div class="import_html"> Le ph&eacute;nom&egrave;ne de r&eacute;sonnance peut s'&eacute;tudier exp&eacute;rimentalement sur un oscillateur &eacute;lastique auquel on applique une force ext&eacute;rieure (&agrave; l'aide d'un moteur par exemple). Ce moteur est alors appel&eacute; Le ressort, mis en action par l'excitateur, est appel&eacute; On parle d'un mouvement . </div> <div class="import_html"> L'amplitude <img src="../../docs/import_html/2733/index_html_5505ee14.png" border="0" class="import_html" /> du r&eacute;sonateur d&eacute;pend de la p&eacute;riode de l'excitateur (T). On peut d&eacute;terminer exp&eacute;rimentalement l'amplitude du r&eacute;sonateur pour diff&eacute;rentes fr&eacute;quences de l'excitateur. On observe alors une valeur pour laquelle <img src="../../docs/import_html/2733/index_html_5505ee14.png" border="0" class="import_html" />est maximale. </div> <div class="import_html"> L'amplitude du r&eacute;sonateur d&eacute;pend &eacute;galement des forces de frottements. C'est le ph&eacute;nom&egrave;ne d', qui est d'autant plus grand que les frottements sont importants. </div> <div class="import_html"> <img src="../../docs/import_html/2733/index_html_m368a1414.png" border="0" class="import_html" /> </div> <div class="import_html"></div> <div class="import_html"> . </div>
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