Mouvement d'un projectile dans le champ de pesanteur

Mouvement d'un projectile dans le champ de pesanteur

I - Rappel : le champ de pesanteur

1 - Force de pesanteur

Tout objet placé au voisinage de la Terre est soumis à des forces d'attraction gravitationnelle équivalentes à une force unique appelée « Poids » noté  :
  • Verticale du...
Mouvement d'un projectile dans le champ de pesanteur

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<h2 class="import_html">I - Rappel : le champ de pesanteur</h2> <h3 class="import_html">1 - Force de pesanteur</h3> <div class="import_html"> Tout objet plac&eacute; au voisinage de la Terre est soumis &agrave; des forces d'attraction gravitationnelle &eacute;quivalentes &agrave; une force unique appel&eacute;e &laquo;&nbsp;Poids&nbsp;&raquo; not&eacute; <img src="../../docs/import_html/1029/index_html_3778c07e.png" border="0" class="import_html" />&nbsp;: </div> <ul class="import_html"> <li class="import_html"> <div class="import_html"> Verticale du lieu </div> </li> <li class="import_html"> <div class="import_html"> Sens&nbsp;: vers le bas </div> </li> <li class="import_html"> <div class="import_html"> Point d'application&nbsp;: G </div> </li> <li class="import_html"> <div class="import_html"> <img src="../../docs/import_html/1029/index_html_m7d137022.png" border="0" class="import_html" /> </div> </li> </ul> <h3 class="import_html">2 - Champ de pesanteur uniforme</h3> <div class="import_html"> Dire que <img src="../../docs/import_html/1029/index_html_m7d137022.png" border="0" class="import_html" /> revient &agrave; dire que <img src="../../docs/import_html/1029/index_html_m5ac1c013.png" border="0" class="import_html" />. </div> <div class="import_html"> Le champ de pesanteur est uniforme dans une r&eacute;gion de l'espace si le vecteur <img src="../../docs/import_html/1029/index_html_14e6d10e.png" border="0" class="import_html" /> &agrave; la m&ecirc;me direction, le m&ecirc;me sens et la m&ecirc;me valeur en tous points de cette r&eacute;gion. C'est le cas dans un domaine o&ugrave; les dimensions n'exc&egrave;dent pas quelques kilom&egrave;tres. </div> <h2 class="import_html">II - Chute verticale sans frottement en chute libre</h2> <div class="import_html"> <img src="../../docs/import_html/1029/index_html_4aaed100.png" border="0" class="import_html" /> </div> <ul class="import_html"> <li class="import_html"> <div class="import_html"> Syst&egrave;me &eacute;tudi&eacute;&nbsp;: l'objet </div> </li> <li class="import_html"> <div class="import_html"> R&eacute;f&eacute;rentiel de l'&eacute;tude&nbsp;: Terrestre suppos&eacute; galil&eacute;en </div> </li> <li class="import_html"> <div class="import_html"> B.A.M.A appliqu&eacute; sur l'objet&nbsp;: <img src="../../docs/import_html/1029/index_html_m7d137022.png" border="0" class="import_html" /> (frottements de l'air n&eacute;gligeables) </div> </li> </ul> <div class="import_html"> On applique la 2&egrave;me loi de Newton&nbsp;: </div> <div class="import_html"> <img src="../../docs/import_html/1029/index_html_af6037e.png" border="0" class="import_html" /> </div> <div class="import_html"> D'o&ugrave; <img src="../../docs/import_html/1029/index_html_m590c38c9.png" border="0" class="import_html" /> car <img src="../../docs/import_html/1029/index_html_3778c07e.png" border="0" class="import_html" /> est ici la seule force qui s'applique sur l'objet. </div> <div class="import_html"> Or, <img src="../../docs/import_html/1029/index_html_m7d137022.png" border="0" class="import_html" /> donc <img src="../../docs/import_html/1029/index_html_mce0d242.png" border="0" class="import_html" /> </div> <div class="import_html"> Donc <img src="../../docs/import_html/1029/index_html_m3f097f3e.png" border="0" class="import_html" /> </div> <div class="import_html"> On obtient l'&eacute;quation diff&eacute;rentielle&nbsp;: <img src="../../docs/import_html/1029/index_html_772736e8.png" border="0" class="import_html" /> </div> <div class="import_html"> Et donc <img src="../../docs/import_html/1029/index_html_63e0f300.png" border="0" class="import_html" /> </div> <h3 class="import_html">1 - 1er Cas : Chute libre sans vitesse initiale</h3> <div class="import_html"> <img src="../../docs/import_html/1029/index_html_m2a332b40.png" border="0" class="import_html" /> doit valoir 0 donc <img src="../../docs/import_html/1029/index_html_6660bd66.png" border="0" class="import_html" /> </div> <div class="import_html"> D'o&ugrave; l'&eacute;quation horaire suivante&nbsp;: <img src="../../docs/import_html/1029/index_html_m2ab0d546.png" border="0" class="import_html" /> </div> <h3 class="import_html">2 - 2&egrave;me Cas</h3> <div class="import_html"> Lan&ccedil;ons le mobile verticalement vers le haut. </div> <div class="import_html"> <img src="../../docs/import_html/1029/index_html_m2f61ebed.png" border="0" class="import_html" /> </div> <div class="import_html"> D'o&ugrave; l'&eacute;quation horaire suivante&nbsp;: <img src="../../docs/import_html/1029/index_html_11817440.png" border="0" class="import_html" /> </div> <h2 class="import_html">III - Mouvement d'un projectile dans le champ de pesanteur</h2> <h3 class="import_html">1 - Conditions de l'&eacute;tude</h3> <div class="import_html"> <font face="Trebuchet MS, sans-serif" class="import_html"><i class="import_html">A </i></font> <img src="../../docs/import_html/1029/index_html_5ed12a82.png" border="0" class="import_html" />, <img src="../../docs/import_html/1029/index_html_m7896a994.png" border="0" class="import_html" />appartient au plan <img src="../../docs/import_html/1029/index_html_ma74be06.png" border="0" class="import_html" />) et fait un angle <img src="../../docs/import_html/1029/index_html_ma59d8ae.png" border="0" class="import_html" /> avec l'horizontale. <font face="Trebuchet MS, sans-serif" class="import_html"><span class="import_html"><i class="import_html"> <img src="../../docs/import_html/1029/index_html_m5fb9bdaf.png" border="0" class="import_html" /></i></span></font> </div> <ul class="import_html"> <li class="import_html"> <div class="import_html"> Syst&egrave;me &eacute;tudi&eacute;&nbsp;: (S) </div> </li> <li class="import_html"> <div class="import_html"> R&eacute;f&eacute;rentiel de l'&eacute;tude&nbsp;: Terrestre suppos&eacute; galil&eacute;en </div> </li> <li class="import_html"> <div class="import_html"> B.A.M.E appliqu&eacute; sur l'objet&nbsp;: <img src="../../docs/import_html/1029/index_html_m7d137022.png" border="0" class="import_html" /> </div> </li> <li class="import_html"> <div class="import_html"> 2 <sup class="import_html">&egrave;me</sup> loi de Newton&nbsp;: <img src="../../docs/import_html/1029/index_html_m590c38c9.png" border="0" class="import_html" /> donc <img src="../../docs/import_html/1029/index_html_mce0d242.png" border="0" class="import_html" /> </div> </li> </ul> <h3 class="import_html">2 - Equation horaire du mouvement</h3> <div class="import_html"> Coordonn&eacute;es du vecteur acc&eacute;l&eacute;ration&nbsp;: </div> <table border="1" bordercolor="#000000" cellpadding="7" cellspacing="0" class="import_html"> <tbody class="import_html"> <tr valign="TOP" class="import_html"> <td class="import_html"> <div class="import_html"> <img src="../../docs/import_html/1029/index_html_2f8ffe62.png" border="0" class="import_html" /> </div> </td> <td class="import_html"> <div class="import_html"> <img src="../../docs/import_html/1029/index_html_24987a72.png" border="0" class="import_html" /> </div> <div class="import_html"> <img src="../../docs/import_html/1029/index_html_6cfdc26f.png" border="0" class="import_html" /> </div> <div class="import_html"> <img src="../../docs/import_html/1029/index_html_7e0d7926.png" border="0" class="import_html" /> </div> </td> </tr> </tbody> </table> <div class="import_html"> Primitives de ces 3 fonctions&nbsp;: </div> <table border="1" bordercolor="#000000" cellpadding="7" cellspacing="0" class="import_html"> <tbody class="import_html"> <tr valign="TOP" class="import_html"> <td class="import_html"> <div class="import_html"> <img src="../../docs/import_html/1029/index_html_m1840452d.png" border="0" class="import_html" /> </div> </td> <td class="import_html"> <div class="import_html"> <img src="../../docs/import_html/1029/index_html_m412f3a1.png" border="0" class="import_html" /> </div> <div class="import_html"> <img src="../../docs/import_html/1029/index_html_m18b66ea2.png" border="0" class="import_html" /> </div> <div class="import_html"> <img src="../../docs/import_html/1029/index_html_1a2d2ee1.png" border="0" class="import_html" /> </div> </td> </tr> </tbody> </table> <table border="1" bordercolor="#000000" cellpadding="7" cellspacing="0" class="import_html"> <tbody class="import_html"> <tr valign="TOP" class="import_html"> <td class="import_html"> <div class="import_html"> <img src="../../docs/import_html/1029/index_html_6a851152.png" border="0" class="import_html" /> </div> </td> <td class="import_html"> <div class="import_html"> <img src="../../docs/import_html/1029/index_html_m1b509cbf.png" border="0" class="import_html" /> </div> <div class="import_html"> <img src="../../docs/import_html/1029/index_html_657fb684.png" border="0" class="import_html" /> </div> <div class="import_html"> <img src="../../docs/import_html/1029/index_html_6da4c92.png" border="0" class="import_html" /> </div> </td> </tr> </tbody> </table> <h2 class="import_html">IV - Conclusion</h2> <div class="import_html"> Le mouvement se fait dans le plan de lancement, donc x=0 quel que soit t. </div> <div class="import_html"> La projection du mouvement du projectile sur l'axe Oy horizontal est uniforme (acc&eacute;l&eacute;ration nulle). </div> <div class="import_html"> Sur l'axe Oz, la projection du mouvement du projectile est uniform&eacute;ment acc&eacute;l&eacute;r&eacute;e avec une acc&eacute;l&eacute;ration constante. </div> <h3 class="import_html">1 - Equation de la trajectoire</h3> <div class="import_html"> Si <img src="../../docs/import_html/1029/index_html_41dbc640.png" border="0" class="import_html" />, alors <img src="../../docs/import_html/1029/index_html_4a27af90.png" border="0" class="import_html" /> </div> <div class="import_html"> Donc <img src="../../docs/import_html/1029/index_html_6bd77ef0.png" border="0" class="import_html" /> </div> <div class="import_html"> D'o&ugrave; <img src="../../docs/import_html/1029/index_html_6dcf92bb.png" border="0" class="import_html" /> </div> <h3 class="import_html">2 - Port&eacute;e du tir</h3> <div class="import_html"> C'est la distance atteinte par le projectile lorsqu'il retombe sur le sol. On note <img src="../../docs/import_html/1029/index_html_m3566d6aa.png" border="0" class="import_html" />. </div> <div class="import_html"> Pour une valeur donn&eacute;e de la vitesse initiale <img src="../../docs/import_html/1029/index_html_m7c871d97.png" border="0" class="import_html" /> , la port&eacute;e maximale est atteinte pour <img src="../../docs/import_html/1029/index_html_4da09ddc.png" border="0" class="import_html" />. </div> <h3 class="import_html">3 - Fl&egrave;che</h3> <div class="import_html"> La hauteur maximale que peut atteindre le projectile est appel&eacute;e &laquo;&nbsp;la fl&egrave;che&nbsp;&raquo;. </div>
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