La démonstration, partie 1 - Philosophie - Terminale S

La démonstration, partie 1 - Philosophie - Terminale S

Découvrez ce cours de philosophie gratuit niveau Terminale S, rédigé par notre professeur, consacré au chapitre sur la démonstration.

Dans ce cours sur la démonstration, vous verrez tout d'abord la définition et les enjeux de cette notion, le lien entre démonstration et éducation, et aborderez Aristote, philosophe à l'origine de la démonstration. La partie suivante vous aidera à comprendre les notions de démonstration, ou logique, la présence de la démonstration dans les mathématiques, et vous apprendrez à faire la différence entre la démonstration et la preuve,et la démonstration et l'évidence. Enfin, vous vous intéresserez aux usages de la démonstration : pourquoi démontrer? 

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Document rédigé par un prof La démonstration, partie 1 - Philosophie - Terminale S

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INTRODUCTION

LES ENJEUX DE LA NOTION : UNE PREMIERE DEFINITION

La présence dans le mot démonstration de l’acte de montrer évoque l’exposition au regard d’un public de la vérité d’une assertion, d’un raisonnement. 

L’objectif d’une telle « monstration » est de rendre indubitable la conclusion mise à l’épreuve. 

Donnons quelques propriétés fondamentales de la démonstration :

  • premièrement, la démonstration est une procédure, c’est-à-dire une série d’actes conduisant à une conclusion, et cela en suivant un ensemble de règles. 
  • deuxièmement, la démonstration est de nature discursive, c’est-à-dire qu’elle s’exprime dans des discours, des énoncés, ou plus généralement qu’elle est extériorisée (sur un support d’écriture par exemple). 
  • troisièmement, elle engage un raisonnement tant de la part de celui qui fournit la démonstration que de celui qui la reconnaît comme valide ; ce n’est qu’en vertu d’un tel raisonnement que la démonstration peut prétendre « montrer » la vérité. 


PAS DE DEMONSTRATION SANS DEDUCTION

La démonstration ne peut pas être sans la déduction

Il apparaît qu'au point de départ d'une théorie déductive, conçue pour satisfaire aux exigences logiques, devront figurer, non point les trois principes traditionnels : définitions, axiomes, postulats, mais des propositions non démontrées qu'on appellera indifféremment axiomes ou postulats, et des termes non définis : tout le travail ultérieur consistant à construire à partir de là des propositions nouvelles, justifiées par le moyen de démonstrations, et des termes nouveaux

À quelles conditions doivent satisfaire une bonne démonstration ?

Si l'on met au premier plan la vérité de contenu, il semble que la démonstration et la définition devienne de simples moyens.

Une démonstration est une déduction destinée à prouver la vérité de sa conclusion en s'appuyant sur des prémisses reconnues ou admises comme vraies.


ARISTOTE, A L’ORIGINE DE LA DEMONSTRATION

Aristote est le premier à analyser et définir le concept de démonstration (apodeixis en grec). 

La démonstration est pour lui un type spécifique de syllogisme.

Un syllogisme est un raisonnement déductif, produisant une connaissance, et qui, à partir de deux prémisses permet de tirer une conclusion. L’exemple le plus célèbre est sans doute le suivant : à partir des deux propositions « Tous les hommes sont mortels » et « Socrate est un homme », on peut déduite que « Socrate est mortel ». La science du syllogisme est une science des formes du raisonnement, des différents enchaînements et combinaisons de proposition (universelles : « tous les… », existentielles : « il existe un… ») à partir de laquelle on peut juger de la validité des raisonnements indépendamment de ce à quoi renvoient les termes (« les hommes », « Socrate ») dans la réalité. 

Aristote présente donc la démonstration comme un type particulier de syllogisme, ayant pour prémisses des principes premiers évidents et indémontrables. Le syllogisme démonstratif se distingue, dit Aristote, des syllogismes dialectique et rhétorique et se présente comme l’outil premier de la science.    


LA DEMONSTRATION : CE QU’ELLE EST, CE QU’ELLE N’EST PAS.

LA DEMONSTRATION, OU LA LOGIQUE.

La théorie aristotélicienne du syllogisme est l’acte de naissance de la discipline nommée logique. 

Elle ouvre la possibilité d’une formalisation totale des processus de la pensée. Certes, on peut juger que la logique n’occupe qu’un espace restreint dans l’ordre de la connaissance. 

Kant croyait ainsi que la logique d’Aristote était une science complète et achevée. 

Peu de temps avant lui, Leibniz avait émis un tout autre jugement en affirmant que tout raisonnement pouvait être ramené à un calcul. Il présentait alors le projet d’une mathématique universelle, d’une théorie de la démonstration qui ne contiendrait aucune faille :

« Je tiens que l’invention de la forme des syllogismes est une des plus belles et des plus considérables de l’esprit humain, et même des plus considérables. C’est une espèce de mathématique universelle dont l’importance n’est pas assez connue ; et l’on peut dire qu’un art d’infaillibilité y est contenu, pourvu qu’on sache et qu’on puisse s’en servir, ce qui n’est pas toujours permis. » 

(Nouveaux essais sur l’entendement humain)

Leibniz anticipait de quelque manière le renouveau de la logique au tournant des 19ème et 20ème siècles, où l’on pense que pour parfaire la logique, il est absolument nécessaire que celle-ci use d’un ensemble de signes qui lui soit propre, qui soit distinct des langues naturelles et donc protégé de toutes les équivoques que présentent celles-ci. 

Ainsi peut être assurée la rigueur des démonstrations ou chaînes de déductions permises par le système formel en tant que système axiomatique. 

L’intuition, qui grevait les mathématiques, n’a alors plus aucune place dans la démonstration. 

 

MATHEMATIQUES ET PHILOSOPHIE

C’est dans les mathématiques que la démonstration a acquis ses lettres de noblesse

N’évoquons ici que la figure d’Euclide et ses Éléments de Géométrie, et qui constitue l’acte de naissance de cette science qu’est la géométrie, l’objet de celle-ci étant les figures ou plus exactement les relations entre points, droites, plans et espaces. La méthode euclidienne est axiomatique, c’est-à-dire qu’elle fonde la démonstration sur des définitions, des axiomes ou postulats, et enfin des notions communes. Définitions, axiomes et postulats sont relatifs aux entités primitives (ex : « tous les angles droits sont égaux entre eux ») tandis que les notions communes sont des énoncés universels, évidents (« les choses qui sont égales à une même chose sont égales entre elles »). Ces propositions « de base » ne font pas l’objet d’une démonstration. Elles sont ce à partir de quoi seront tirées, par déduction, toutes les vérités géométriques, les théorèmes. 

La démonstration est une chaîne déductive qui, à partir des définitions, axiomes, etc. et des théorèmes précédemment démontrés, déduit de nouveaux théorèmes.  

Le système euclidien, et plus généralement la méthode des mathématiques ont longtemps symbolisé l’idéal de la connaissance ; on y voyait alors la réalisation de la science au sens qu’Aristote avait donné à ce terme. C’est pourquoi la philosophie s’est très souvent préoccupée d’évaluer la rigueur de sa méthode, l’exactitude de ses conclusions à l’aune de la science mathématique. 

L’exemple le plus remarquable est probablement l’Éthique de Spinoza. L’éthique, comme réflexion et évaluation des actions et conduites humaines, est probablement l’un des domaines de connaissance dont on dirait le plus volontiers qu’il échappe aux procédés scientifiques. Il n’en est rien pour Spinoza dont le sous-titre de l’ouvrage est : « démontrée selon l’Ordre Géométrique », ordre qui n’est rien d’autre que celui d’Euclide. 

On peut également citer Kant qui, lui, n’entend pas introduire la méthode mathématique en philosophie, mais voit dans les mathématiques le paradigme d’une connaissance valable a priori (avant toute expérience), connaissance par conséquent apodictique (évidente) et dont il s’agit de penser la possibilité en philosophie. 


DEMONSTRATION ≠ PREUVE

Il ne faut pas confondre les notions de preuve et de démonstration

La preuve prétend, tout comme la démonstration, établir, rendre irréfutable la vérité, l’existence, la réalité de quelque chose. 

Mais la preuve a, le plus souvent, avant tout pour fonction de supprimer le doute, l’incertitude (exemples : preuve de l’existence de Dieu, de la validité d’un calcul, etc.). 

La démonstration est de plus universelle, elle vaut pour tous et en tout temps tandis qu’il est possible que la preuve ne vaille que pour certaines personnes et dans certaines circonstances. 

Ajoutons que s’il y a bien des preuves purement déductives, la plupart d’entre elles incluent des procédés d’induction (raisonnement à partir d’expériences ou connaissances particulières). En ce sens, la preuve contient des éléments d’incertitude, elle est affectée d’un degré de probabilité et fait l’objet d’un certain degré de croyance.


DEMONSTRATION ≠ EVIDENCE

On l’a vu, chez Aristote comme chez Euclide, la démonstration s’appuie déjà sur des principes premiers et indémontrables

Descartes va quant à lui affirmer le rôle fondamental joué par l’évidence en mathématique :

« Par intuition, j’entends la foi flottante dans le témoignage instable des sens ni le jugement fallacieux de l’imagination qui compose mal ; mais la conception d’une intelligence pure et attentive, conception si facile et si distincte qu’il ne subsiste absolument aucun doute au sujet de ce que nous intelligeons ainsi ; ou ce qui revient au même, une conception inaccessible au doute, conception de l’intelligence pure et attentive, qui naître de la seule lumière de la raison et qui, parce qu’elle est plus simple, est plus certaine encore que la déduction ; celle-ci pourtant ne peut pas être mal faite par l’homme. [...] Ainsi chacun peut voir par intuition qu’il existe, qu’il pense, que le triangle est limité par trois lignes seulement, la sphère par une seule surface et des choses semblables, qui sont bien plus nombreuses que ne pourraient le penser la plupart des hommes, parce qu’ils éprouvent du dédain à tourner leur esprit vers des choses si faciles. Par suite, on peut se demander pourquoi, en plus de l’intuition, nous avons ajouté ici un autre mode de connaissance qui se fait par déduction ; par laquelle nous entendons tout ce qui conclut nécessairement d’autres choses connues avec certitude, bien qu’elles ne soient pas elles-mêmes évidentes du moment qu’elles sont déduites de principes vrais et connus, par un mouvement continu et interrompu de la pensée qui a l’intuition de chaque terme d’une manière distincte. C’est ainsi que nous savons que le dernier anneau de quelque longue chaîne est connecté au premier même si nous ne voyons d’un seul et même coup d’œil tous les intermédiaires dont dépend ce lien. Il suffit que nous les ayons parcourus un à un, et que nous nous souvenions que, du premier au dernier, chacun tient du précédent et du suivant. Nous distinguons donc ici l’intuition intellectuelle d’une déduction certaine en ce que l’on conçoit en celle-ci un mouvement ou une certaine succession et pas dans l’autre ; et que de plus, pour la déduction une évidence actuelle n’est pas exigée comme pour l’intuition, mais plutôt qu’elle tire sa certitude de la mémoire. D’où il s’ensuit, concernant les propositions qui sont la conséquence immédiate des premiers principes, qu’on peut dire, selon la manière de les considérer, tantôt qu’on les connaît au moyen de l’intuition, tantôt qu’on les connaît au moyen de la déduction ; mais les premiers principes eux-mêmes ne sont connus que par intuition ; et à l’inverse, les conditions éloignées ne peuvent être connues que par déduction »

(Règles pour la direction de l’esprit, III)


Il défend l’idée selon laquelle la simplicité de certaines vérités mathématiques rend impossible que quelqu’un se trompe à leur sujet ; ces vérités sont objets d’intuition. Descartes insiste même sur le caractère intuitif de certaines démonstrations ou déductions. 

Si l’évidence est bien pour Descartes ce qui « prouve » l’exactitude des mathématiques, elle pose néanmoins la question des fondements des mathématiques ; on peut ainsi se demander si elle n’enracine pas définitivement l’objectivité mathématique dans le sol d’une expérience (même si ce n’est qu’une expérience de pensée) présentant toujours un certain coefficient de subjectivité, au sens d’un rapport à un sujet (non au sens d’une relativité du type « chacun ses idées »). 

 

LES USAGES DE LA DEMONSTRATION

POURQUOI DEMONTRER ?

La démonstration n’est que la mise en œuvre, d’opération d’inférences

Elle relève par là de contraintes formelles qui peuvent sembler étrangères aux exigences du savoir, ou du moins à la manière dont celui-ci tend à se constituer naturellement. 

Car l’attention est divertie de la réalité même par l’application de simples procédures formelles.

Mais alors pourquoi démontrer ?

  • Peut-être tout d’abord parce qu’il s’agit moins, avec la démonstration, d’acquérir de nouveaux savoir, que de légitimer ou d’authentifier un savoir déjà constitué. 

En somme, la démonstration ne répondrait véritablement aux exigences du savoir que dans le cas où il est impossible de savoir une chose sans la démontrer. 

On peut ici rappeler l’étymologie du mot démontrer, qui en grec signifie « montrer à partir de », soit une opération qui consiste à exhiber à faire voire ce qui semble échapper à toute visibilité. D’où l’existence de la géométrie qui consiste à rendre visibles des rapports numériques obscurs. Ici nous avons alors à faire, via la démonstration, à une vérité qui ne peut être rendue manifeste que par le geste même qui la produit, et ce faisant, la légitime.

  • On peut aussi penser qu’on a besoin de la démonstration là où on est en présence de vérités qui peuvent aussi être connues hors démonstration, mais partiellement. C’est le cas des sciences de la nature. 
  • Aristote fait ainsi remarquer qu’il ne revient pas au même de connaître un fait et de connaître la cause de ce fait. La démonstration, qui est ce qui met au jour les causes, n’est alors plus un simple jeu formel, mais l’expression d’un ordre de dépendance établi dans les choses mêmes, c’est-à-dire un rapport de cause à effet
Fin de l'extrait

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