La démonstration, partie 2- Philosophie - Terminale S

La démonstration, partie 2- Philosophie - Terminale S

Nous vous proposons un cours de philosophie gratuit pour la classe de Terminale S, rédigé par notre professeur, consacré à la démonstration. Ce cours est la seconde partie du chapitre sur la démonstration.

Ici, vous étudierez en premier les usages de la démonstration : la démonstration est-elle une garantie de la vérité? À quoi reconnaît-on une vraie démonstration ? Vous vous intéresserez ensuite aux tenants et aboutissants de la démonstration : démontrer peut-il être superflu? les principes de la démonstration sont-ils eux-mêmes démonstrables? Les étapes de la démonstration peut-elles se ramener à un simple calcul?

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LES USAGES DE LA DEMONSTRATION

LA DEMONSTRATION EST-ELLE UNE GARANTIE DE LA VERITE ?

La démonstration tient son aura et sa valeur de sa procédure formelle, c’est-à-dire du raisonnement déductif. Pourtant il semble tout aussi possible de prouver de manière rigoureuse des choses fausses ou paradoxales.

Prenons l’exemple d’un syllogisme faux :

« Tout quadrupède est un âne

Toute baleine est un quadrupède

Donc toute baleine est un âne. »

↳ Ici tout est faux, les deux prémisses comme la conclusion, tout sauf le raisonnement démonstratif. 

C’est cette apparence de rigueur qu’instrumentalisent les Sophistes ou les rhéteurs spécialistes des raisonnements captieux. Ou encore les politiques de nos jours, qui réussissent à persuader une majorité de citoyens en emportant leur décision.

Donc non, la démonstration en elle-même n’est pas garantie de vérité. Seul un bon usage de cette dernière la rend véridique.


À QUOI RECONNAIT-ON UNE VRAIE DEMONSTRATION ?

L’habileté des sophistes à faire semblant d’être rigoureux formellement rend nécessaire une étude systématique du procédé démonstratif pour voir s’il est valide ou non. 

C’est Aristote le premier qui  s’est soucié de faire une théorie de la démonstration, ce qu’il appelle une «syllogistique », qui fait l’inventaire des raisonnements déductifs valides :

« Le syllogisme est un discours dans lequel certaines propositions étant posées, une autre distincte des premières s’ensuite nécessairement, en vertu même des propositions qui ont été posées. Par le seul fait de ces données : je veux dire que c’est par elles que la conséquence est obtenue ; à son tour, l’expression c’est par elles que la conséquence est obtenue signifie qu’aucun terme étranger n’est en plus requis pour produire la conséquence nécessaire. C’est une démonstration quand le syllogisme a pour point de départ des propositions vraies et premières, ou des propositions telles que la connaissance que nous en avons est tirée de propositions premières et vraies. En revanche, c’est un syllogisme dialectique lorsqu’il conclut à partir de propositions admises. Sont vraies et premières les propositions qui produisent la conviction, non pas par d’autres propositions mais en vertu d’elles-mêmes (concernant les principes de la connaissance scientifique, on ne doit pas se mettre en quête de leur pourquoi, chacun de ces principes doit de lui-même produire la conviction) ; sont admises les opinions reçues par tous les hommes, ou par la plupart d’entre eux, ou par les avisés et, parmi ces derniers, soit par tous, soit par la plupart soit enfin par les plus réputés ou les plus reconnus. C’est un syllogisme éristique quand il part de propositions qui, tout en paraissant admises, en réalité ne le sont pas ; ou encore, le syllogisme qui ne conclut qu’en apparence de propositions admises ou paraissant admises : en effet, il s’en faut que tout ce qui se présente comme admis soit véritablement admis, car rien de ce qui est dit admis ne présente au premier coup d’œil un caractère certain de fausseté comme c’est le cas pour les principes des arguments éristiques, où c’est immédiatement que se révèle la nature de la fausseté, même pour des esprits doués d’une médiocre compréhension. »

(Topiques, I, 1 100a25)


Eristique = pratique qui ne tend à la réfutation de l’autre sans souci aucun de la vérité.

Aristote montre qu’il faut reconnaître, en plus du syllogisme démonstratif et du syllogisme éristique, unsyllogisme tierce, le syllogisme dialectique, qui porte sur le domaine du vraisemblable. La dialectique est une exploitation plus ou moins systématiques des probabilités et il est vrai qu’il y a des cas où une thèse peut être considérée comme valable, sans pourtant être adossée à des raisons démonstratives et par cela seul qu’elle l’emporte sur toutes les autres thèses qu’on serait susceptible de lui opposer.


LA DEMONSTRATION. LES TENANTS ET LES ABOUTISSANTS

DEMONTRER PEUT-IL ETRE SUPERFLU ?

La démonstration, si on n’en fait pas un moyen de pratiques de persuasion mal intentionnées, est un mode majeur pour l’établissement et l’authentification du savoir. 

Mais elle mobilise un procédé lourd.

La question se pose alors de savoir si pour certaines propositions, plus simples, plus claires, qui frappent l’esprit d’une sorte d’évidence, il ne serait pas possible de se dispenser d’une telle procédure. Certaines vérités auraient ainsi, selon Descartes, le caractère d’être connaissables par elles-mêmes.

Mais la réputation de simplicité qui s’attacherait à certaines propositions mieux connues que d’autres peut être trompeuse. Car la question reste quand même de savoir ce qui légitime nos certitudes. 


LES PRINCIPES DE LA DEMONSTRATION SONT-ILS EUX-MEMES DEMONTRABLES ?

Si la thèse suivant laquelle certaines vérités pourraient s’exempter de démonstration incite à la méfiance, la thèse inverse, selon laquelle tout doit être démontré, est bien difficile à tenir. Pourquoi ? Car toute démonstration mobilise des propositions dont la vérité est préalablement admise. Ces propositions, à leur tour, ont soit été obtenues indépendamment de toute démonstration, soit sont le produit d’une démonstration antérieure. 

Dans la mesure où on ne peut pas envisager une régression à l’infini, il est inévitable qu’on finisse par remonter à des principes indémontrés et indémontrables de la démonstration. 

« Certains soutiennent qu’il ne semble pas y avoir de connaissance scientifique du fait qu’il faut connaître les propositions premières. Pour d’autres, il y a bien des connaissances scientifiques, mais ils soutiennent qu’il y a démonstration de toutes les propositions : l’une et l’autre de ces thèses ne sont ni vraies, ni nécessaires. En effet, ceux-là, qui supposent qu’il n’est pas possible de connaître autrement que par démonstration, pensent qu’on remonte à l’infini en argumentant à juste titre qu’on ne saurait connaître scientifiquement les propositions dérivées en vertu de propositions antérieures qui ne seraient pas premières. (Et de fait, il est impossible de mettre un terme au parcours de séries infinies si ces dernières ne sont pas connues par des principes premiers). Et ils pensent que, s’il y a un point d’arrêt et des principes premiers, ils sont inconnaissables scientifiquement puisqu’il n’y a pas de démonstration, qui est pour eux le seul savoir scientifique.

Or, il n’est pas possible de connaître à partir d’elles, au sens strict et plein du terme, la connaissance des propositions dérivées reposant sur la supposition que les propositions premières sont vraies.

Quant à ceux qui professent la seconde thèse, ils s’accordent avec les autres concernant la connaissance scientifique, puisqu’ils soutiennent qu’elle est seulement possible par la démonstration ; mais ils ajoutent qu’il n’y a démonstration de toutes les propositions car ils ne voient aucun inconvénient à ce que la démonstration soit circulaire et qu’elles se prouvent les unes à partir des autres.

Quant à nous, nous disons d’abord que toute connaissance scientifique n’est pas susceptible d’être objet de démonstration mais que celle des propositions immédiates est au contraire indémontrable. Et il est clair que, en effet, s’il est nécessaire de connaître les propositions antérieures à partir desquelles il y a démonstration, et s’il est aussi nécessaire qu’à un moment donné on s’arrête aux propositions immédiates, alors il est nécessaire que ces dernières soient indémontrables. Nous disons donc de celles-ci qu’elles relèvent non seulement de la connaissance scientifique, mais encore qu’il y a, en outre, un principe déterminé de connaissance scientifique par lequel nous sommes capables de connaître les définitions. »

Seconds Analytiques, I 3, 72 b 5 sq.


Les conséquences sont de deux types :

  • soit l’indémonstrabilité des principes premiers est comprise comme l’expression d’une différence de statut entre les vérités principes et les autres, ce que soutient Aristote.
  • soit cela est compris, comme le soutient Pascal, comme l’impossibilité de rendre compte de certaines vérités premières, comme la marque d’un échec radical du projet scientifique lui-même :


« Je ne puis mieux faire entendre la conduite qu’on doit garder pour rendre les démonstrations convaincantes qu’en expliquant celles que la géométrie observe. [...] Mais il faut auparavant que je donne l’idée d’une méthode encore plus éminente et plus accomplie, mais où les hommes ne sauraient jamais arriver : car ce qui passe la géométrie nous surpasse ; et néanmoins il est nécessaire d’en dire quelque chose, quoiqu’il soit impossible de le pratiquer.

Cette véritable méthode, qui formerait les démonstrations dans la plus haute excellence, s’il était possible d’y arriver, consisterait en deux choses principales : l’une, de n’employer aucun terme dont on n’eût auparavant expliqué nettement le sens ; l’autre, de n’avancer jamais aucune proposition qu’on ne démontrât par des vérités déjà connues ; c’est-à-dire, en un mot, à définir tous les termes et à prouver toutes les propositions. [...] Certainement cette méthode serait belle mais elle est absolument impossible car il est évident que les premiers termes qu’on voudrait définir en supposerait de précédents pour servir à leur explication et que de même les premières propositions qu’on voudrait prouver en supposeraient d’autres qui les précédassent ; et ainsi il est clair qu’on n’arriverait jamais aux premières. [...] Aussi, en poussant les recherches de plus en plus, on arrive nécessairement à des mots primitifs qu’on ne peut plus définir, et à des principes si clairs qu’on n’en trouve plus qui le soient davantage pour servir à leur preuve. »

De l’esprit géométrique.

Ou encore comme le soutient Leibniz, selon lequel le raisonnement ne peut pas faire l’économie de bilans provisoires :

« Si les vérités sont fort simples et évidentes, et fort proches des identiques et des définitions, on n’a guère besoin d’employer expressément des maximes pour en tirer des vérités, car l’esprit les emploie virtuellement et fait sa conclusion tout d’un coup sans entrepôt. Mais, sans les axiomes et  les théorèmes déjà connus, les mathématiciens auraient bien de la peine à avancer ; car dans les longues conséquences, il est bon de s’arrêter de temps en temps et de se faire comme des colonnes militaires au milieu du chemin, qui serviront encore aux autres à la marquer. Sans cela, ces longs chemins seront trop incommodes, , et paraîtront même confus et obscurs, sans qu’on n’y puisse rien discerner et relever que l’endroit où l’on est : c’est aller sur mer sans compas dans une nuit obscure, sans voir fond, ni rives, ni étoiles ; c’est marcher dans de vastes landes où il n’y a ni arbres, ni collines, ni ruisseaux ; c’est aussi comme une chaîne à anneaux destinée à mesurer des longueurs où il y aurait quelques centaines d’anneaux semblables entre eux tout de suite, sans une distinction de chapelet, ou de plus gros grains, ou de plus grands anneaux, ou d’autres divisions qui pourraient marquer les pieds, les toises, les perches, etc. L’esprit qui aime l’unité dans la multitude joint donc ensemble quelques unes des conséquences pour en former des conclusions moyennes, et c’est l’usage des maximes et des théorèmes. Par ce moyen, il y a plus de plaisir, plus de lumière, plus de souvenirs, plus d’application et moins de répétitions. »

(Nouveaux essais sur l’entendement humain)


LES ETAPES DE LA DEMONSTRATION PEUVENT ELLES SE RAMENER A UN SIMPLE CALCUL ?

Le recours à des marques, à des signes, on dirait aujourd’hui à un symbolisme, qui constitue le processus de la démonstration semble conduire à aligner les démarches du raisonnement sur celles d’un simple calcul. Il en résulte une redéfinition possible du lien entre logique comme pratique et théorie du raisonnement, et mathématique. L’émergence d’un modèle formaliste aboutit alors tout aussi bien à la redéfinition du rapport des mathématiques à la logique :

« Au cours de l’histoire, les mathématiques et la logique ont eu longtemps des destins séparés. Les mathématiques étaient liées à la science, la logique à la culture grecque. Mais elles se sont profondément modifiées à notre époque : la logique est devenue de plus  en plus mathématique, les mathématiques de plus en plus soucieuses de logique. Le résultat de cette évolution est qu’il est devenu impossible de tracer une nette ligne de démarcation entre les deux, elles sont devenues une seule et même discipline. [...] Nulle part dans ce procès on ne pourrait tracer une ligne nette avec la logique d’un côté et les mathématiques de l’autre ». 

(Russell, Introduction à la philosophie mathématique)


CONCLUSION

Portées et limites du modèle démonstratif

• Un savoir autre que mathématique peut-il satisfaire aux exigences de la démonstration ?

On a vu que les mathématiques et leurs procédés démonstratifs ont longtemps constitué un modèle, un idéal ou encore un paradigme pour les autres sciences et pour la philosophie. Nombreux cependant ont été ceux qui ont remis en question la validité d’une évaluation de ces autres savoirs (et notamment des sciences humaines) par comparaison avec les mathématiques. 

• Les limites de la démonstration sont dans ses fondements

Comme le montre Frege, il faut qu’il y ait nécessité de la recherche sur les fondements logiques de la démonstration, afin de renforcer ses bases. Pour ce faire, éprouver la démonstration par le doute et ne jamais considérer les axiomes de base comme absolument certains :


« Des formules numériques telles que 7 + 5 = 12 et des lois telles que celles de l’associativité ont été si souvent confirmés par d’innombrables applications quotidiennes qu’il peut sembler ridicule de les soumettre au doute et d’en réclamer une preuve. Mais il est inscrit dans l’essence des mathématiques que partout où l’on peut donner une preuve, elle est préférable à une confirmation inductive. Euclide prouve ce qu’on lui aurait bien volontiers accordé. Et quand la rigueur euclidienne a paru ne plus suffire, ont commencé les recherches qui se sont greffées sur l’axiome des parallèles.

Ainsi le mouvement qui s’est donné pour but d’atteindre une rigueur extrême a largement dépassé ses premières motivations et celles-ci ne cessent de s’amplifier et d’accroître leur exigence.

C’est que la preuve n’a pas pour seule fin de libérer une proposition du doute ; elle permet en outre de pénétrer la dépendance relative des vérités. Une fois persuadé qu’un bloc de rocher est inébranlable parce qu’on a essayé sans succès de le faire bouger, on peut se demander ce qui le soutient si solidement. Plus on poursuivra la recherche, moins nombreuses seront les vérités fondamentales auxquelles on pourra tout ramener, et cette simplification est déjà en elle-même un but digne d’efforts. Peut-être même pourra-t-on espérer atteindre les procédés généraux de la construction des concepts et l’art des principes fondamentaux pour tous les cas, même les plus complexes, en prenant conscience de ce que les hommes ont fait instinctivement dans les cas les plus simples, pour peu que l’on dégage ce qui est universellement valide en ceux-ci. »

(Les fondements de l’arithmétique)

Fin de l'extrait

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