Valeur absolue d'un nombre - Maths

Valeur absolue d'un nombre - Maths

Chapitre 2 :  Valeur absolue d’un nombre

 

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Valeur absolue d'un nombre - Maths

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Chapitre 2 :  Valeur absolue d’un nombre

 

·      |a| est toujours positif   (c’est une distance)

·      Si a est positif alors, |a| = a   et si a est négatif alors |a| = -a

·      Deux nombres opposés ont la même valeur absolue, |a| = |-a|

 

·      |-x-1| = |x+1|  -   |-x+1| = |x-1|  -   |x+1| = |-x-1|

·      |∏-x| = |-∏+x| = |x-∏|   -   |-2-x| = |2+x| = |x+2|

·      Deux expressions algébriques opposées ont la même valeur absolue.

 

·      AB représente la distance entre les réels a et b la valeur de leur différence.

·      AB = |a-b| = |b-a| et cette distance correspond à d (a ; b).

 

·      Si |x| est négatif alors on cherche son opposé.

·      Si |x| est positif alors on ne change rien.

 

·      La valeur absolue d’un produit est égale au produit des valeurs absolues.

Cela veut donc dire que |a x b| = |a| x |b|

 

·      La valeur absolue d’un quotient est égale au quotient des valeurs absolues.

 Cela veut donc dire que ||=

 

 

·      La valeur absolue d’une somme n’est pas égale à la somme des valeurs absolues. Sauf quand c’est du même signe (++ ou --). Donc |a+b| ≠ |a| + |b|

 

·      Pour toute expression A,  existe toujours, et  = |A|.                                               Par exemple, si on a alors c’est égal à |∏-4| soit 4-∏.

 

 

 

 

·      Pour résoudre une équation de valeurs absolues il y a deux méthodes :

 

 

1/ En utilisant les distances

Puisque |x-2| = d(x ; 2), cela revient à résoudre d(x ; 2) = 3

 

       
   
 
 

 

 


                                                           -1                      2                   5

 
 

 


                        Il y a un écart de 3 entre le -1 et le 2

                        Il y a un écart de 3 entre le 2 et le 5

 

 

 

2/ En utilisant les propriétés des valeurs absolues

On connaît |T| = 2 ↔ T = 2 ou T = -2 donc |x-2| = 3                                                                                        Donc x-2 = 3  ou bien  x-2 = -3

X = 5  ou bien x = -1

 

S  =  {-1 ; 5}

 

 

·      Et donc si on prend l’inéquation |x-2| ≤ 3

On peut utiliser la distance donc d (x ; 2) ≤ 3

Ou on peut utiliser les propriétés des valeurs absolues

Ce qui est égal à x – 2 ≤ 3  et   x – 2 ≥ -3

 

Donc finalement x ≤ 5  et x ≥ -1

 

S  =  [-1 ; 5]

 

 

·      Si l’on doit résoudre |x-2| ≥ 3

 

 

1/ En utilisant la distance

On cherche les réels x tels que d (x ; 2) ≥ 3

 

Zone qui correspond à |x-2| ≤ -3

Zone qui correspond à |x-2| ≥ 3

 

 

               S  =  ]- ; -1] U [5 ; +[

 

 

             2/ En utilisant les propriétés des valeurs absolu

 On sait que |T| ≥ 3 ↔ T ≤ -3 ou T ≥ 3 donc |x-2| ≥ 3

             Donc x – 2 ≥ 3  ou  x – 2 ≤ -3

             x ≥ 5   ou   x ≤ -1

 

             S  =  ]- ; -1] U [5 ; +[

 

 

·      Il existe aussi le cas de l’égalité entre deux expressions de valeurs absolues.

Exemple :   |2x-1| = |3-5x|  est aussi égal à |2x-1| = |5x-3|

 

C’est égal à son opposé.

Fin de l'extrait

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