Raisonnement par récurrence

Raisonnement par récurrence

I - Principe

Énonçons le principe du raisonnement par récurrence :
Soit une propriété concernant des entiers naturels. Pour démontrer que est vraie pour tous les entiers supérieurs à un entier , on procède en deux étapes :
    ...
Raisonnement par récurrence

Le contenu du document

<h2 class="import_html">I - Principe</h2> <div class="import_html"> &Eacute;non&ccedil;ons le principe du raisonnement par r&eacute;currence&nbsp;: </div> <div class="import_html"> Soit <img src="../../docs/import_html/2559/index_html_49c6643c.png" border="0" class="import_html" /> une propri&eacute;t&eacute; concernant des entiers naturels. Pour d&eacute;montrer que <img src="../../docs/import_html/2559/index_html_m68ed2a11.png" border="0" class="import_html" /> est vraie pour tous les entiers sup&eacute;rieurs &agrave; un entier <img src="../../docs/import_html/2559/index_html_266eee73.png" border="0" class="import_html" />, on proc&egrave;de en deux &eacute;tapes&nbsp;: </div> <ul class="import_html"> <li class="import_html"> <div class="import_html"> on v&eacute;rifie que <img src="../../docs/import_html/2559/index_html_m68ed2a11.png" border="0" class="import_html" /> est vraie pour <img src="../../docs/import_html/2559/index_html_266eee73.png" border="0" class="import_html" /> (&agrave; l'ordre <img src="../../docs/import_html/2559/index_html_266eee73.png" border="0" class="import_html" />, au rang <img src="../../docs/import_html/2559/index_html_266eee73.png" border="0" class="import_html" />)&nbsp;; </div> </li> <li class="import_html"> <div class="import_html"> on d&eacute;montre que si <img src="../../docs/import_html/2559/index_html_m68ed2a11.png" border="0" class="import_html" /> est vraie au rang <img src="../../docs/import_html/2559/index_html_m72515bf1.png" border="0" class="import_html" />, alors elle est vraie au rang <img src="../../docs/import_html/2559/index_html_21afc559.png" border="0" class="import_html" />. </div> </li> </ul> <div class="import_html"> La premi&egrave;re &eacute;tape est appel&eacute;e initialisation alors que la seconde &eacute;tape est appel&eacute;e transmission (on dit alors que <img src="../../docs/import_html/2559/index_html_49c6643c.png" border="0" class="import_html" /> est h&eacute;r&eacute;ditaire). </div> <h2 class="import_html">II - Applications du raisonnement par r&eacute;currence</h2> <div class="import_html"> Afin de comprendre plus facilement comment utiliser ce type de raisonnement, appliquons-le sur quatre exemples donn&eacute;s. </div> <h3 class="import_html">1 - Premi&egrave;re application</h3> <div class="import_html"> Montrer que pour tout entier naturel <img src="../../docs/import_html/2559/index_html_m72515bf1.png" border="0" class="import_html" />, avec <img src="../../docs/import_html/2559/index_html_m506fa603.png" border="0" class="import_html" />, on a&nbsp;: </div> <div class="import_html"> <img src="../../docs/import_html/2559/index_html_4e83fef2.png" border="0" class="import_html" /> </div> <div class="import_html"> &Agrave; l'ordre 1&nbsp;: </div> <div class="import_html"> Le membre de gauche est &eacute;gal &agrave; <img src="../../docs/import_html/2559/index_html_m5889a36f.png" border="0" class="import_html" />. </div> <div class="import_html"> Le membre de droite est &eacute;gal &agrave; <img src="../../docs/import_html/2559/index_html_2a0704c.png" border="0" class="import_html" />. </div> <div class="import_html"> La propri&eacute;t&eacute; est donc vraie &agrave; l'ordre 1. </div> <div class="import_html"> Hypoth&egrave;se de r&eacute;currence&nbsp;: <img src="../../docs/import_html/2559/index_html_3b14ea9e.png" border="0" class="import_html" />. </div> <div class="import_html"> On veut d&eacute;montrer&nbsp;: <img src="../../docs/import_html/2559/index_html_6899043d.png" border="0" class="import_html" />. </div> <div class="import_html"> On a&nbsp;: </div> <div class="import_html"> <img src="../../docs/import_html/2559/index_html_m6d187055.png" border="0" class="import_html" /> </div> <div class="import_html"> <img src="../../docs/import_html/2559/index_html_3cfae34.png" border="0" class="import_html" /> </div> <div class="import_html"> <img src="../../docs/import_html/2559/index_html_m1f0c6f12.png" border="0" class="import_html" /> </div> <div class="import_html"> Or, <img src="../../docs/import_html/2559/index_html_ef921f8.png" border="0" class="import_html" />. </div> <div class="import_html"> La propri&eacute;t&eacute; est vraie &agrave; l'ordre 1. Si elle est vraie &agrave; l'ordre <img src="../../docs/import_html/2559/index_html_m72515bf1.png" border="0" class="import_html" />, elle l'est aussi &agrave; l'ordre <img src="../../docs/import_html/2559/index_html_21afc559.png" border="0" class="import_html" />. Donc, par r&eacute;currence, elle est vraie pour tout <img src="../../docs/import_html/2559/index_html_m506fa603.png" border="0" class="import_html" />. </div> <h3 class="import_html">2 - Deuxi&egrave;me application</h3> <div class="import_html"> Montrer que pour tout entier naturel <img src="../../docs/import_html/2559/index_html_m72515bf1.png" border="0" class="import_html" />, avec <img src="../../docs/import_html/2559/index_html_m506fa603.png" border="0" class="import_html" />, on a&nbsp;: </div> <div class="import_html"> <img src="../../docs/import_html/2559/index_html_m511255f.png" border="0" class="import_html" /> </div> <div class="import_html"> &Agrave; l'ordre 1&nbsp;: </div> <div class="import_html"> Le membre de gauche est &eacute;gal &agrave; <img src="../../docs/import_html/2559/index_html_m5889a36f.png" border="0" class="import_html" />. </div> <div class="import_html"> Le membre de droite est &eacute;gal &agrave; <img src="../../docs/import_html/2559/index_html_1cf24b68.png" border="0" class="import_html" />. </div> <div class="import_html"> La propri&eacute;t&eacute; est donc vraie &agrave; l'ordre 1. </div> <div class="import_html"> Hypoth&egrave;se de r&eacute;currence&nbsp;: <img src="../../docs/import_html/2559/index_html_m58109afb.png" border="0" class="import_html" />. </div> <div class="import_html"> On veut d&eacute;montrer&nbsp;: <img src="../../docs/import_html/2559/index_html_5d3a8e45.png" border="0" class="import_html" />. </div> <div class="import_html"> On a&nbsp;: </div> <div class="import_html"> <img src="../../docs/import_html/2559/index_html_m4ba66dd5.png" border="0" class="import_html" /> </div> <div class="import_html"> <img src="../../docs/import_html/2559/index_html_1cd383ee.png" border="0" class="import_html" /> </div> <div class="import_html"> <img src="../../docs/import_html/2559/index_html_5497bf17.png" border="0" class="import_html" /> </div> <div class="import_html"> <img src="../../docs/import_html/2559/index_html_m102b2a92.png" border="0" class="import_html" /> </div> <div class="import_html"> Or, <img src="../../docs/import_html/2559/index_html_m6429475b.png" border="0" class="import_html" />. </div> <div class="import_html"> La propri&eacute;t&eacute; est vraie &agrave; l'ordre 1. Si elle est vraie &agrave; l'ordre <img src="../../docs/import_html/2559/index_html_m72515bf1.png" border="0" class="import_html" />, elle l'est aussi &agrave; l'ordre <img src="../../docs/import_html/2559/index_html_21afc559.png" border="0" class="import_html" />. Donc, par r&eacute;currence, elle est vraie pour tout <img src="../../docs/import_html/2559/index_html_m506fa603.png" border="0" class="import_html" />. </div> <h3 class="import_html">3 - Troisi&egrave;me application</h3> <div class="import_html"> Soit la suite <img src="../../docs/import_html/2559/index_html_11294a92.png" border="0" class="import_html" /> d&eacute;finie par&nbsp;: <img src="../../docs/import_html/2559/index_html_m649348f1.png" border="0" class="import_html" /> pour tout entier naturel <img src="../../docs/import_html/2559/index_html_m72515bf1.png" border="0" class="import_html" />, avec <img src="../../docs/import_html/2559/index_html_m539ceaee.png" border="0" class="import_html" />. Montrer par r&eacute;currence que la suite <img src="../../docs/import_html/2559/index_html_11294a92.png" border="0" class="import_html" /> est croissante. </div> <div class="import_html"> On veut alors montrer&nbsp;: <img src="../../docs/import_html/2559/index_html_12088b29.png" border="0" class="import_html" /> pour tout entier naturel <img src="../../docs/import_html/2559/index_html_m72515bf1.png" border="0" class="import_html" />. </div> <div class="import_html"> &Agrave; l'ordre 0&nbsp;: </div> <div class="import_html"> On a&nbsp;: <img src="../../docs/import_html/2559/index_html_1c90a7e2.png" border="0" class="import_html" /> et <img src="../../docs/import_html/2559/index_html_m539ceaee.png" border="0" class="import_html" />, donc <img src="../../docs/import_html/2559/index_html_m661c8f68.png" border="0" class="import_html" />. </div> <div class="import_html"> La propri&eacute;t&eacute; est donc vraie &agrave; l'ordre 0. </div> <div class="import_html"> Hypoth&egrave;se de r&eacute;currence&nbsp;: <img src="../../docs/import_html/2559/index_html_12088b29.png" border="0" class="import_html" />. </div> <div class="import_html"> On veut d&eacute;montrer&nbsp;: <img src="../../docs/import_html/2559/index_html_3219f6f.png" border="0" class="import_html" />. </div> <div class="import_html"> On a&nbsp;: </div> <div class="import_html"> <img src="../../docs/import_html/2559/index_html_m215932fb.png" border="0" class="import_html" /> </div> <div class="import_html"> Or, <img src="../../docs/import_html/2559/index_html_12088b29.png" border="0" class="import_html" />, donc on en d&eacute;duit&nbsp;: <img src="../../docs/import_html/2559/index_html_3219f6f.png" border="0" class="import_html" />. </div> <div class="import_html"> La propri&eacute;t&eacute; est vraie &agrave; l'ordre 0. Si elle est vraie &agrave; l'ordre <img src="../../docs/import_html/2559/index_html_m72515bf1.png" border="0" class="import_html" />, elle l'est aussi &agrave; l'ordre <img src="../../docs/import_html/2559/index_html_21afc559.png" border="0" class="import_html" />. Donc, par r&eacute;currence, elle est vraie pour tout <img src="../../docs/import_html/2559/index_html_m145ddf98.png" border="0" class="import_html" />, et la suite <img src="../../docs/import_html/2559/index_html_11294a92.png" border="0" class="import_html" /> est croissante. </div> <h3 class="import_html">4 - Quatri&egrave;me application</h3> <div class="import_html"> Soit la suite <img src="../../docs/import_html/2559/index_html_11294a92.png" border="0" class="import_html" /> d&eacute;finie par&nbsp;: <img src="../../docs/import_html/2559/index_html_7f559aec.png" border="0" class="import_html" /> pour tout entier naturel <img src="../../docs/import_html/2559/index_html_m72515bf1.png" border="0" class="import_html" />, avec <img src="../../docs/import_html/2559/index_html_m4b4dff97.png" border="0" class="import_html" />. On pose la fonction <img src="../../docs/import_html/2559/index_html_29c0b2e8.png" border="0" class="import_html" /> d&eacute;finie sur <img src="../../docs/import_html/2559/index_html_847bb84.png" border="0" class="import_html" /> par <img src="../../docs/import_html/2559/index_html_5f733f81.png" border="0" class="import_html" />. </div> <div class="import_html"> &Eacute;tudier les variations de <img src="../../docs/import_html/2559/index_html_29c0b2e8.png" border="0" class="import_html" /> puis montrer par r&eacute;currence en utilisant <img src="../../docs/import_html/2559/index_html_29c0b2e8.png" border="0" class="import_html" /> qu'on a pour tout <img src="../../docs/import_html/2559/index_html_m72515bf1.png" border="0" class="import_html" />&nbsp;: <img src="../../docs/import_html/2559/index_html_m56305f14.png" border="0" class="import_html" />. </div> <div class="import_html"> On a&nbsp;: <img src="../../docs/import_html/2559/index_html_m6ea16230.png" border="0" class="import_html" />. Donc <img src="../../docs/import_html/2559/index_html_734105d9.png" border="0" class="import_html" /> est du signe de <img src="../../docs/import_html/2559/index_html_47334bbd.png" border="0" class="import_html" />. Cette fonction est donc croissante sur <img src="../../docs/import_html/2559/index_html_847bb84.png" border="0" class="import_html" />. </div> <div class="import_html"> &Agrave; l'ordre 0&nbsp;: </div> <div class="import_html"> On a&nbsp;: <img src="../../docs/import_html/2559/index_html_m4b4dff97.png" border="0" class="import_html" /> donc <img src="../../docs/import_html/2559/index_html_4775e397.png" border="0" class="import_html" />. </div> <div class="import_html"> La propri&eacute;t&eacute; est donc vraie &agrave; l'ordre 0. </div> <div class="import_html"> Hypoth&egrave;se de r&eacute;currence&nbsp;: <img src="../../docs/import_html/2559/index_html_m4f3a86dc.png" border="0" class="import_html" />. </div> <div class="import_html"> On veut d&eacute;montrer&nbsp;: <img src="../../docs/import_html/2559/index_html_m7c389d2a.png" border="0" class="import_html" />. </div> <div class="import_html"> On a&nbsp;: </div> <div class="import_html"> <img src="../../docs/import_html/2559/index_html_m24e8f2c1.png" border="0" class="import_html" /> </div> <div class="import_html"> Or, <img src="../../docs/import_html/2559/index_html_29c0b2e8.png" border="0" class="import_html" /> est croissante sur <img src="../../docs/import_html/2559/index_html_847bb84.png" border="0" class="import_html" />, donc on a <img src="../../docs/import_html/2559/index_html_511d21fc.png" border="0" class="import_html" />. </div> <div class="import_html"> On obtient&nbsp;: <img src="../../docs/import_html/2559/index_html_m7ab55212.png" border="0" class="import_html" /> et <img src="../../docs/import_html/2559/index_html_4585dac6.png" border="0" class="import_html" />, donc <img src="../../docs/import_html/2559/index_html_38e44e4f.png" border="0" class="import_html" />, c'est-&agrave;-dire&nbsp;: <img src="../../docs/import_html/2559/index_html_m7c389d2a.png" border="0" class="import_html" />. </div> <div class="import_html"> La propri&eacute;t&eacute; est vraie &agrave; l'ordre 0. Si elle est vraie &agrave; l'ordre <img src="../../docs/import_html/2559/index_html_m72515bf1.png" border="0" class="import_html" />, elle l'est aussi &agrave; l'ordre <img src="../../docs/import_html/2559/index_html_21afc559.png" border="0" class="import_html" />. Donc, par r&eacute;currence, pour tout <img src="../../docs/import_html/2559/index_html_m72515bf1.png" border="0" class="import_html" />, on a&nbsp;: <img src="../../docs/import_html/2559/index_html_m4f3a86dc.png" border="0" class="import_html" />. </div>
Fin de l'extrait

Vous devez être connecté pour pouvoir lire la suite

Télécharger ce document gratuitement

Donne ton avis !

Rédige ton avis

Votre commentaire est en attente de validation. Il s'affichera dès qu'un membre de Bac S le validera.
Attention, les commentaires doivent avoir un minimum de 50 caractères !
Vous devez donner une note pour valider votre avis.

Chaque semaine recevez des conseils de révisions de la part de votre
coach bac !

Recevoir

Nos infos récentes du Bac S

Communauté au top !

Révise ton BAC
Contenus en illimité

Inscription gratuite

Accès gratuit à bac-s.net pour préparer le bac !

Vous devez être membre de digiSchool bac S

Pas encore inscrit ?

Ou identifiez-vous :

Mot de passe oublié ?