Produit scalaire de vecteurs

Produit scalaire de vecteurs

Effectuer des calculs vectoriels n'a rien de compliqué quand on maîtrise bien tous les théorèmes et propriétés, c'est pourquoi notre professeur de maths a créé cette fiche de révision sur le produit scalaire de vecteurs pour vous aider à bien...

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Effectuer des calculs vectoriels n'a rien de compliqué quand on maîtrise bien tous les théorèmes et propriétés, c'est pourquoi notre professeur de maths a créé cette fiche de révision sur le produit scalaire de vecteurs pour vous aider à bien maîtriser ces notions pour votre épreuve du Bac S !

I - Définition

Le produit scalaire de 2 vecteurs et est une opération algébrique qui associe un scalaire à deux vecteurs.

Rappel:

Les scalaires sont des nombres réels qui multiplient les vecteurs.

1 - Notation

On note le vecteur =
On note le vecteur =
On note ?=( , )
Alors le produit scalaire de et est:
* . = OA*OB*cos(?) Attention: Un produit scalaire est un réel!

2 - Base orthonormée

Dans une base orthonormée, si et ont pour coordonnées respectives :
* (x;y) et (x';y') alors . =xx'+yy'
* (x;y;z) et (x';y';z') alors . =xx'+yy'+zz'
* En particulier || ||=?(x²+y²) dans le plan et || ||=?(x²+y²+z²) dans l'espace.

II - Propriétés

1 - Calculatoires

  • . = .
  • (k ). =k( . )
  • .( + )= . + .
  • ²=|| ||²= .
  • . =1/2*(|| ||²+|| ||²-|| - ||²)

2 - Orthogonalité

  • et sont orthogonaux si et seulement si . =0
  • et sont orthogonaux si et seulement si = ou (OA) ? (OB) avec les notations précédentes.

III - Applications

1 - Théorème d'Al kashi

ABC est un triangle de cotés BC=a; AC=b; AB=c alors
  1. a²=b²+c²-2bc*cos Â
  1. L'aire A du triangle est donnée par:
  • A=1/2(bc*sin Â)
  • A=1/2(ac*sin )
  • A=1/2(ab*sin )
  1. (sin  )/a=(sin )/b=(sin )/c

2 - Théorème de la médiane

I est le milieu de [AB]. Alors MA²+MB²=2MI²+1/2(AB²) pour tout point M.

IV - Droites et plans dans le plan et l'espace

1 - Equation cartésienne d'une droite du plan

On appelle vecteur normal à la droite (d) tout vecteur non nul orthogonal à un vecteur directeur de (d). Donc (non nul) est vecteur normal à (AB) si =0

Propriétés :

  • Dans le plan, une droite(d) a pour équation cartésienne ax+by+c=0 si et seulement si (a ;b) est un vecteur normal à (d)
(Cette équation n'est pas unique, de même que n'est pas unique).
  • Dans le plan, la distance d'un point P à la droite(d) d'équation ax+by+c=0 est donnée par |axp+byp+c|/?(a²+b²)

2 - Equation cartésienne d'un plan de l'espace

On appelle vecteur normal au plan (P) tout vecteur non nul orthogonal à toute droite contenue dans (P).

Propriété :

  • Dans l'espace, un plan (P) a pour équation cartésienne ax+by+cz+d=0 si et seulement si (a ;b ;c) est un vecteur normal à (P).
(Cette équation n'est pas unique, de même que n'est pas unique)
  • Dans une base orthonormée. Dans l'espace, la distance d'un point M au plan (P) d'équation ax+by+cz+d=0 est donnée par |axM+byM+czM+d|/?(a²+b²+c²)

3 - Systèmes d'équations d'une droite de l'espace

1 - Représentation paramétrique

Soit(d) une droite passant par A(?,?,?) et de vecteur directeur (Xu,Yu,Zu).
B appartient à (d) si et seulement si et sont colinéaires, soit =t pour t un réel.
Un système d'équation paramétrique de (d) est :

2 - Système d'équations cartésiennes

Une droite est l'intersection de 2 plans : à ce titre elle peut être définie par 2 équations cartésiennes de ces plans :
Ce système n'est pas unique
Fin de l'extrait

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Les avis sur ce document

pab38710
5 5 0
20/20

Super Fiche qui permet de revisser ou d'apprendre efficacement !

par - le 10/09/2016

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