Produit scalaire dans le plan - Mathématiques - Première S

Produit scalaire dans le plan - Mathématiques - Première S

Ce cours gratuit de mathématiques, rédigé par un professeur, porte sur les produits scalaires, chapitre du programme de Première S.

Dans la première partie de cette leçon, il sera question des défintions et propriétés du produit scalaire. En seconde partie, vous aborderez les propriétés géométriques, avec les vecteurs orthogonaux, puis les propriétés de calcul. Vous verrez ensuite la projection orthogonale, et enfin une synthèse.

Visionnez gratuitement ce cours de mathématiques en le téléchargeant ci-dessous.

Produit scalaire dans le plan - Mathématiques - Première S

Le contenu du document

 

 

I. DEFINTION ET PROPRIETES

· Soit A et B deux points du plan. On appelle norme de AB et on note || AB|| la longueur AB.
· On appelle produit scalaire de 2 vecteurs u et v le réel, noté u.v, tel que :
                                                           u
.v = (1/2)(||u+v||² - ||u||² - ||v||²)

· Si u(; y) et v(x’ ; y’) sont 2 vecteurs du plan muni d’un repère orthonormé alors :
                                                           u
.v = xx’+ yy’ 

· Si u et v sont 2 vecteurs non nuls du plan, alors u.v = ||u|| × ||v|| × cos θ   où   θ = (u,v)

 

II. PROPRIETES GEOMETRIQUES

· 2 vecteursu et v sont dits orthogonaux si :
            soit  u
 = 0 ou v = 0
            soit (OA) et (OB) sont perpendiculaires lorsque u
 = OA et v = OB tous les 2 distincts de 0.

· u et v sont orthogonaux ó  u.v = 0

· Soit AB et CD deux vecteurs colinéaires non nuls.
                        - Si AB
 et  CD sont de même sens alors  AB.CD = AB × CD
                        - Si AB
 et  CD sont de sens contraire alors AB.CD = - AB × CD.

 

III. PROPRIETES DE CALCUL

· Soient u, v et w trois vecteurs et λ un réel. On a :
                                               • u
.( v + w) = u.v + u.w    
                                               • (u
 + v).w = u.w + v.w    
                                               • u.
λv = λu.v

· identités remarquables Soit u, v 2 vecteurs :
                                               • (u + v)² 
= u2 + v2 + 2u.v
                                               • (u - v)²
= u2 + v2 - 2u.v
                                               • (u + v).(u - v)
 = u2 - v2

 

IV. PROJECTION ORTHOGONALE

· Soient M un point et D une droite du plan. On appelle projeté orthogonal du point M sur la droite D le point H de D tel que (MH) et D soit perpendiculaires.

· Soit u, v 2 vecteurs du plan tels que u = OA et v = OB.
On appelle H le projeté orthogonal de B sur (OA). On a alors :
                                                           u
.v = OA.OB = OA.OH

 

V. SYNTHESE

Nous avons donc 4 formules à notre disposition pour calculer le produit scalaire de 2 vecteurs u et v.

1.    u.v = (1/2) (||u + v||² - ||u||² - ||v||²)

2.    u.v  = xx’+ yy’                   avec u(; y) et y(x’ ; y’) dans un repère orthonormé

3.    u.v  = ||u|| × ||v|| × cos θ     où θ = (u,v)

 

4.    u.v  = OA.OB = OA.OH     où  u = OA et v = OB et H projeté orthogonal de B sur (OA)

 

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