Primitives et intégrale - Fiche Bac Maths

Primitives et intégrale - Fiche Bac Maths

Introduction

 

Primitives et intégrale sont des notions capitales du programme de terminale S....

Primitives et intégrale - Fiche Bac Maths

Quiz de Mathématiques :

Quelle est l'inconnue dans une équation différentielle ?

  • A.Une fonction
  • B.Une tangente
  • C.Une valeur absolue
  • D.Un entier naturel
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Le contenu du document

Introduction

 

Primitives et intégrale sont des notions capitales du programme de terminale S. Pour faire des calculs d'intégrale, mieux vaut bien connaître les primitives usuelles de certaines fonctions. Vous pourrez également avoir recours à l'intégration par partie. Cette fiche recense également les formules d'aire et de volume de figures classiques.

 

 

1. Qu'est-ce-qu'une primitive ?

 

Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle J.
La fonction F est une primitive de la fonction f sur J, si pour tout x∈J,F^' (x)=f(x) ; à condition bien sûr que F soit dérivable sur J.

 

Si f admet une primitive F sur un intervalle J, elle en admet une infinité G telles que pour tout x de J : G(x)=F(x)+C avec C∈R. On dit que la primitive est définie à une constante près.

 

Exemple : f(x)=2x
f admet pour primitive sur ℝ, la fonction F définie par F(x)= x². F(x)= x²+3 est aussi une primitive de f.

Une fonction dérivable sur I admet des primitives sur I.

Théorème d'unicité : Si f est dérivable sur I, f admet une unique primitive sur I, prenant la valeur b donnée en a ; aEI.

 

 

 

2. Quelques primitives usuelles

 

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3. Théorème des inégalités des accroissements finis

 

Soit une fonction f continue sur un intervalle [a,b].

Le nombre M est un majorant de f sur [a,b], F une primitive de f sur[a,b].



Pour tout x de [a,b], |F(x)-F(a)|≤ |x-a|×M

 

 

 

4. Opérations courantes sur les fonctions et les primitives

Les opérations suivantes se retrouveront facilement si vous connaissez bien les dérivées des fonctions usuelles (ou de combinaisons de fonctions usuelles).

 

Soient u, v, u' et v', 4 fonctions définies et dérivables sur I.

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5. De la notion de primitive à celle d'intégrale

 

Si F est une primitive de f sur J, a∈J et b∈J, le réel F(b) -F(a) ne dépend pas du choix de la primitive de f.

En effet, s'il existe une autre primitive G de la fonction f sur J, alors il existe c∈R tel que
pour tout x ∈J, G(x) = F(x) + c. G(b) - G(a) = F(b) + c - (F(a) + c) = F(b) - F(a)

 

 

 

6. Quelle est la définition d'une intégrale ?

 

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7. Quelles sont les propriétés algébriques de l'intégrale ?

 

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8. Quelles sont les propriétés des intégrales liées aux caractéristiques des fonctions ?

 

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9. Autres propriétés concernant les intégrales et les inégalités

 

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10. Qu'est-ce-qu'une intégration par parties ?

 

Lorsque vous avez un calcul d'intégrale à effectuer comprenant une fonction relativement complexe à calculer, vous devez penser à l'intégration par parties (ou IPP). Pour cela, vous devez identifier deux fonctions u et v' plus « simples » ayant respectivement une dérivée u' et une primitive v, faciles à calculer.

 

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11. Calcul de l'aire d'une figure à partir d'une intégrale

 

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12. Aires des figures usuelles

 

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Conclusion

 

Les calculs d'aire et de volume sont moins fréquents dans les exercices de mathématiques de terminale que les calculs d'intégrale. Essayez donc de bien maîtriser les propriétés et les modes de calcul d'intégrale !

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NADIR30
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par - le 18/05/2015

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