Nombres Complexes

Retrouvez dans cette fiche de cours réalisée par un professeur de mathématiques toutes les bases, les définitions, les propriétés, les formes algébriques, les opérations à savoir sur les nombres complexes avant de pouvoir répondre sans problème...

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Quiz de Mathématiques :

Quelle est l'inconnue dans une équation différentielle ?

  • A.Une fonction
  • B.Une tangente
  • C.Une valeur absolue
  • D.Un entier naturel
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Le contenu du document

Retrouvez dans cette fiche de cours réalisée par un professeur de mathématiques toutes les bases, les définitions, les propriétés, les formes algébriques, les opérations à savoir sur les nombres complexes avant de pouvoir répondre sans problème aux questions des exercices de l'épreuve du Bac S.

I - Introduction

1 - Définitions

Le nombre est défini par l'égalité .
On appelle nombre complexe tout nombre de la forme , où et sont deux réels.
On note l'ensemble des nombres complexes. On a alors : .
On pose , qui est l'écriture (ou forme algébrique) du nombre complexe. Nous avons alors les définitions suivantes :
  • est la partie réelle de  :
  • est la partie imaginaire de  :
Si , alors est un réel, et si , on peut dire que est un imaginaire pur.
Deux nombres complexes sont égaux lorsqu'ils ont même partie réelle et même partie imaginaire.

2 - Exemples

On a les exemples ci-dessous :
  • Résoudre :
On obtient :

II - Module

1 - Conjugué

On a la définition suivante : soit . On appelle conjugué de et on note le nombre complexe .
Ainsi, on a :
Nous pouvons énoncer quelques propriétés associées au conjugué :
  • avec entier naturel
  • avec
Les démonstrations des propriétés sont faites en écrivant et et en réalisant les calculs progressivement.
Nous avons également les propriétés suivantes :
On en déduit que est un réel si et seulement si . De même, on peut dire que est un imaginaire pur si et seulement si .

2 - Module

On a la définition suivante :
Soit . On appelle module de et on note le nombre défini par .
On peut noter que le module d'un nombre réel est égal à sa valeur absolue.
Voici quelques exemples de modules :
On a les propriétés suivantes :
  • si et seulement si
Nous pouvons définir le théorème suivant :
Soient et deux nombres complexes. On a alors les égalités suivantes :
  • avec entier naturel
  • avec
Attention ici : car .

III - Représentation géométrique des nombres complexes

Le plan est rapporté au repère orthonormé . C'est le plan complexe. À tout nombre complexe avec on associe le point de coordonnées .
On dit alors que est le point image de , et que est l'affixe de . On note alors .
et sont symétriques par rapport à l'axe des réels.
et sont symétriques par rapport à l'origine.
et sont symétriques par rapport à l'axe des imaginaires.
est l'image de par la rotation de centre et d'angle .
On a la distance .
De plus, pour et , on a qui est l'affixe du vecteur .
De même, la distance .
Pour milieu de , on a les coordonnées de qui valent et l'affixe de qui vaut .

IV - Forme trigonométrique

1 - Définitions

Le plan est rapporté au repère orthonormé . Soit avec .
On a alors :
  • sont les coordonnées cartésiennes de ;
  • sont les coordonnées polaires de avec et .
On a alors :
  • et d'où et
On peut ainsi écrire sous sa forme trigonométrique :
On appelle argument de . On note alors : .
Il faut noter que n'a pas de forme trigonométrique.

2 - Produit de nombres complexes écrits sous forme trigonométrique

Soient deux nombres complexes et . Pour multiplier deux nombres complexes écrits sous leur forme trigonométrique, on multiplie les modules et on ajoute les arguments. Ainsi, on a :
De plus, on peut écrire :
De manière plus générale, on peut écrire la formule de Moivre :

3 - Quotient de nombres complexes écrits sous forme trigonométrique

Soient deux nombres complexes et . Pour diviser deux nombres complexes écrits sous leur forme trigonométrique, on divise les modules et on soustrait les arguments. Ainsi, on a :
De plus, on peut écrire :

V - Forme exponentielle d'un nombre complexe

Soit la fonction définie par . Cette fonction est définie de dans .
On a alors : et
On pose donc : , et on peut établir les 3 écritures suivantes :
  •  : forme algébrique
  •  : forme trigonométrique
  •  : forme exponentielle
Dans tous les cas, est toujours positif.
Nous pouvons alors écrire quelques propriétés :
  • est un nombre complexe de module égal à 1

VI - Utilisation des nombres complexes en géométrie

1 - Interprétation de la multiplication par un nombre complexe de module égal à 1

On peut dire que la multiplication par correspond à une rotation de centre et d'angle . Ainsi, est l'image de par la rotation de centre et d'angle , et on note :
De manière plus générale, équivaut à :

2 - Translations

Soit la translation de vecteur . On a alors qui équivaut à .
On note l'affixe de . On a donc : .
De manière générale, on note la translation  :
Par exemple, la translation de vecteur en écriture complexe se note :

3 - Homothéties

Soit l'homothétie de centre et de rapport (avec ). On a alors qui équivaut à .
De manière générale, on note l'homothétie  :
Nous pouvons distinguer deux cas particuliers :
  • si alors (application identique) ;
  • si alors (symétrie de centre ).
Fin de l'extrait

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Les avis sur ce document

jemstex
5 5 0
20/20

bien rédigé et compréhensible !moi qui n'y comprenait absolument rien !

par - le 22/11/2015
wemyx
5 5 0
20/20

Bonjour, il y a une erreur dans l'exemple Z*Z'. Il manque le terme -b*b'

par - le 13/11/2014

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