Logarithmes

Cette fiche de révision de mathématiques est consacrée au chapitre sur les Logarithmes au programme de terminale Scientifique. Notre professeur vous explique comment utiliser correctement cette notion et vous permet de revoir toutes les...

Logarithmes

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Cette fiche de révision de mathématiques est consacrée au chapitre sur les Logarithmes au programme de terminale Scientifique. Notre professeur vous explique comment utiliser correctement cette notion et vous permet de revoir toutes les propriétés importantes pour l'épreuve du Bac S.

 

On a vu que la fonction exponentielle est définie sur , continue, dérivable et strictement croissante sur . On sait aussi qu'elle est strictement positive.
D'après le théorème de la bijection, pour tout réel de , l'équation : admet une seule solution, notée . L'écriture se lit « logarithme népérien de  ».
On a ainsi :
  • donc
  • donc
La fonction est définie sur et on a :
  • pour tout de ;
  • pour tout de .


On admet que, dans un repère orthonormé, la courbe de la fonction est la symétrique de celle de par rapport à la droite d'équation . La courbe ci-dessous illustre les propos précédents, avec en bleu la droite d'équation , en rouge celle de et en vert celle de .
On en déduit donc que est strictement croissante sur et .

I - Propriétés algébriques

1 - Propriété fondamentale

Nous avons la propriété fondamentale suivante : pour tous réels et strictement positifs, on a : .
Démontrons cette propriété fondamentale :
On a :
Donc on en déduit : .

2 - Conséquences

Dans ce qui suit, et sont deux réels strictement positifs. Nous avons les différentes propriétés énoncées ci-après :
En effet, on a :
donc d'où  .
En effet, on a :
.
  • pour dans .
Pour résoudre une équation ou une inéquation avec des logarithmes, il faut toujours commencer par chercher l'ensemble de définition et se ramener à :
ou .
Ainsi, on peut ensuite arriver directement à :
ou .

3 - Exemples

On peut énoncer plusieurs exemples pour illustrer les propos précédents.
  • Ensemble de définition :
  • Ensemble de définition :
  • Simplification :
  • Résolution :
Cela revient à résoudre : .
C'est à dire : .
D'où : .
Les racines sont et , donc car les racines appartiennent à .
  • Résolution :
On effectue le même raisonnement que précédemment.
Les racines sont et , donc car seule une racine appartient à .
  • Résolution :
Cela revient à résoudre : .
C'est à dire : .
D'où : .
Les racines sont et , donc car il faut que l'intervalle qui est solution, ici , concorde également avec .
  • Résolution :
On pose : .
Cela revient à résoudre : .
D'où : .
Les racines sont et .
Soit : donc et donc .
Donc car les racines appartiennent à .
  • Ensemble de définition :
  • Ensemble de définition :
  • Ensemble de définition :
  • Ensemble de définition :

II - Étude de la fonction

1 - Dérivée

On a le théorème suivant : la fonction est dérivable sur , et pour tout , on a : . Le nombre est bien positif sur , donc la fonction est bien strictement croissante sur .
Démontrons ce théorème :
On sait que est continue sur . Soit un réel strictement positif.
On a alors : .
On pose : , soit et , soit .
D'où : .
Donc la fonction est dérivable en et .
On peut donc en tirer la conséquence suivante :
Soit une fonction définie, dérivable et strictement positive sur un intervalle . Alors, est dérivable sur et .
Par exemple :
  • et .
  • et .
  • avec et .

2 - Limites à connaître

Il y a plusieurs limites remarquables qu'il faut connaître. Les voici :
  • .
  • .
  • .
En effet, on pose et on obtient :
.
  • .
En effet, on pose et on obtient :
.
  • .
En effet, on a un taux de variation avec et :
.

III - Fonction logarithme décimal

1 - Définition

On a la définition suivante : on appelle fonction logarithme décimal la fonction notée définie par :
La fonction est définie, continue et dérivable sur . On a également :
  • le a les mêmes propriétés algébriques que .

2 - Autres limites à connaître

On a les autres limites suivantes qu'il faut connaître :
  • .
En effet, on a :
  • .
En effet, on a :
  • .
En effet, on pose et on obtient :
Fin de l'extrait

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