Limites de Fonctions - Mathématiques - Terminale S

Limites de Fonctions - Mathématiques - Terminale S

Notre prof de maths vous invite à vous remémorer toutes les notions importantes sur les limites de fonctions grâce à sa fiche de cours réalisée spécialement pour digiSchool et pour vous ! Entraînez-vous et rafraîchissez votre mémoire sur les...

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Fonctions

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Notre prof de maths vous invite à vous remémorer toutes les notions importantes sur les limites de fonctions grâce à sa fiche de cours réalisée spécialement pour digiSchool et pour vous ! Entraînez-vous et rafraîchissez votre mémoire sur les limites de fonctions et assurez au Bac !

I - Limites en ou en

Soit une fonction définie pour de grandes valeurs de .

1 - Limite finie

Soit un réel. On dit que tend vers quand tend vers lorsque tout intervalle contenant contient toutes les valeurs de pour suffisamment grand.
On note : ou .
Par exemple, on a :
L'interprétation graphique de cette limite finie en l'infini est la suivante : on dit que la droite d'équation est asymptote horizontale à la courbe. La position de la courbe par rapport à l'asymptote est donnée par le signe de :
  • si , alors est au-dessus de l'asymptote ;
  • si , alors est en-dessous de l'asymptote.
Dans l'illustration ci-dessous, on a la fonction tracée en bleu et , son asymptote horizontale, tracée en rouge.


 

2 - Limite infinie

On dit que tend vers quand tend vers lorsque tout intervalle contient toutes les valeurs de pour suffisamment grand.
On note : ou .
Par exemple, on a :
On peut établir la remarque suivante : si peut s'écrire sous la forme avec ou , alors la droite d'équation est appelée asymptote oblique à la courbe.
De même que précédemment, la position de la courbe par rapport à l'asymptote est donnée par le signe de  :
  • si , alors est au-dessus de l'asymptote ;
  • si , alors est en-dessous de l'asymptote.
Dans l'illustration ci-dessous, on a la fonction tracée en bleu et , son asymptote oblique, tracée en rouge.


II - Limites en un réel

Soit un réel.

1 - Limite infinie

On dit que tend vers quand tend vers lorsque tout intervalle contient toutes les valeurs de pour suffisamment proche de .
On note : ou .
Par exemple, on a :
Concernant l'interprétation graphique de cette limite infinie en un réel, si ou , alors la courbe admet une asymptote verticale d'équation (ou seulement une limite à droite ou à gauche).
Illustrons les propos précédents avec un exemple :
  • Quand tend vers  :
  • Quand tend vers  :
  • On peut donc dire qu'on a deux asymptotes verticales d'équations et , tracées respectivement en rouge et vert dans l'illustration ci-dessous :


 

2 - Limite finie

Soit un réel. On dit que tend vers quand tend vers lorsque tout intervalle contenant contient toutes les valeurs de pour suffisamment proche de .
On note : ou .
Par exemple, on a :
On peut établir la remarque suivante : si est une fonction usuelle et si appartient à l'ensemble de définition de , alors la limite en de est égale à . On a ainsi l'égalité suivante : .

III - Opérations sur les limites

1 - Règles de calcul

Voici les différentes règles de calcul lorsque l'on effectue des opérations sur les limites :
  • limite d'une somme de deux fonctions :
  • limite d'une différence de deux fonctions :
On utilise la relation et le tableau d'une somme.
  • limite d'un produit de deux fonctions :
  • limite de l'inverse d'une fonction :
  • limite d'un quotient de deux fonctions :
Nous distinguons donc quatre formes dites « indéterminées » :

2 - Fonctions polynômes, fonctions rationnelles

De manière générale, la limite en d'une fonction polynôme est celle de son monôme de plus haut degré.
Par exemple, on a :
Une fonction rationnelle est un quotient de polynômes. Donc la limite en d'une fonction rationnelle est celle du rapport des termes de plus hauts degrés.
Ainsi, par exemple, on a :

3 - Limites et composées d'une fonction

On suppose que le théorème suivant est admis (nous n'en ferons pas une démonstration). Si on a et si , alors on peut dire que .
On peut illustrer le théorème avec l'exemple suivant :
Soient deux fonctions définies comme suit :
Alors leurs limites respectives sont :
Par composition, on obtient le résultat :

IV - Limites et comparaison de fonctions

1 - Théorème des gendarmes

Soient , et trois fonctions définies pour de grandes valeurs de . Soit un réel.
Si on a et si pour assez grand , alors on peut dire que .
Démontrons ce théorème des gendarmes :
Soit un intervalle quelconque contenant .
On sait que donc il existe un réel tel que si alors .
De même, donc il existe un réel tel que si alors .
De plus, il existe un réel tel que si alors par hypothèse.
Soit le plus grand des 3 réels .
Si alors donc .
Si alors donc .
Si alors donc .
Donc implique que .
Pour tout intervalle contenant , toutes les valeurs de sont dans pour suffisamment grand ( ).
Cela signifie donc bien : .
On peut établir la remarque suivante : le théorème reste valable si on remplace par ou par un réel .
Illustrons ce théorème par un exemple bien connu :
On souhaite déterminer :
Le cosinus n'a pas de limite en .
Cependant, on sait que : .
Ainsi, pour tout , on a : .
On sait alors que .
Donc d'après le théorème des gendarmes, on en déduit que : .

2 - Limites et inégalités

Nous avons le théorème suivant, décomposé en deux énoncés :
  • Si et si, pour assez grand, , alors on peut en déduire que .
  • Si et si, pour assez grand, , alors on peut en déduire que .
Bien entendu, les limites en de ce théorème peuvent être remplacées sans problème par les limites ou un réel . Le théorème est toujours valable.
Fin de l'extrait

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Les avis sur ce document

tamsirn378
5 5 0
20/20

Excellent document, clair, comprehensible, merci beaucoup

par - le 20/10/2016
tima1234
5 5 0
20/20

Franchement c'est bien fait mashallah merci beaucoup!!

par - le 03/07/2016
remsroub
5 5 0
20/20

Très bon document qui m'a permis de bien comprendre tout le programme sur les limites de fonctions!

par - le 06/04/2016

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