Limite d'une suite en Maths - Epreuve au Bac

Limite d'une suite en Maths - Epreuve au Bac

Ce document est une fiche de révision du programme de Maths de première S sur les limites d'une droite.

Limite d'une suite en Maths - Epreuve au Bac

Le contenu du document

 

Etudier la convergence d'une suite, c'est étudier ce que devient U_n lorsque n devient de plus en plus grand donc quand n tend vers +∞.


U_n désigne une suite et l un nombre réel. La suite (U_n) converge vers l si tout intervalle ouvert contenant l contient aussi tous les termes de la suite (U_n) à partir d'un certain rang p.

l est alors la limite de la suite (U_n) et on note lim┬(n→ +∞)U_n = l ou lim┬U_n = l

 

Une suite non convergente est dite divergente : il y a deux cas possibels, soit elle admet une limite infinie (la suite (U_n) diverge vers +∞ ou -∞ noté lim┬(n→ +∞)U_n= +∞ ou -∞) soit elle n'a pas de limite.

lim┬(n→ +∞)1/n= 0
lim┬(n→ +∞)1/n² = 0
lim┬(n→ +∞)1/(√n)= 0

 

(U_n) t (V_n) sont deux suites qui convergent vers l et l' :

La suite (U_n + V_n) converge vers l + l'
La suite (U_n * V_n) converge vers l * l'
V_n est différnte d 0 pour tout n t si l' st différnt d 0 alors (U_n/V_n ) convrg vrs l/l'

 

Soit f un fonction défini sur un intrvall [A ; +∞[ t (U_n) la suit défini par U_n = f(n). Si lim┬(x→ +∞)f(x) = l alors lim┬(n→ +∞)U_n = l

 

Théorèm ds gndarms : Soit (U_n), (V_n) t (W_n) trois suits tlls qu'à partir d'un crtain rang on ait U_n < V_n < W_n t lim ┬(n→ +∞) U_n = lim ┬(n→ +∞) W_n = l alors lim ┬(n→ +∞)V_n = l

 

La suit (U_n) a pour limit +∞ pour tout intrvall [A ; +∞[ qui contint tous ls trms d la suit (U_n) à partir d'un crtain rang.

On dit qu la suit (U_n) divrg vrs +∞ noté lim ┬(n→ + ∞ )U_n= +∞

La suit (U_n) a pour limit -∞ pour tout intrvall ]- ∞ ; A] qui contint tous ls trms d la suit (U_n) à partir d'un crtain rang.

On dit qu la suit (U_n) divrg vrs -∞ noté lim ┬(n→ + ∞ )U_n= -∞

lim ┬(n→ +∞)n= +∞
lim ┬(n→ +∞) n² = +∞
lim ┬(n→ +∞) √n = +∞

 

Soit (U_n) t (V_n) dux suits tlls qu'à partir d'un crtain rang on ait U_n < V_n t lim ┬(n→ + ∞ )V_n = -∞ alors, lim ┬(n→ + ∞ )U_n = -∞

 

Soit (U_n) t (V_n) dux suits tlls qu'à partir d'un crtain rang on ait U_n > V_n t lim ┬(n→ + ∞ )V_n = +∞ alors, 〖lim〗┬(n→ + ∞ )U_n = +∞

Si q st un nombr rél alors :
* Si q > 1, alors lim ┬(n→ +∞)q^n = +∞
* Si -1 < q < 1 alors lim ┬(n→ +∞) q^n = 0
* Si q < 1 alors la suit (q^n) n'a pas d limit, ll divrg
* Si q = 1, alors lim ┬(n→ +∞)q^n = 1


xmpl :

(U_n) est un suite géométrique d raison q = 3 t U_0 = 5.

U_n = q^n * U_0
U_n = 3^n * 5

q > 1, alors lim┬(n→ +∞)3^n= +∞

lim┬(n→ +∞)3^n*5 = +∞

lim┬(n→ +∞) U_n = +∞


La suit (U_n) divrg vrs +∞

 

Fin de l'extrait

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