Les probabilités

Fiche de révision du programme de Maths de première S sur les probabilités.

Les probabilités

Le contenu du document

 

I/ Ensemble de définitions 

 

  • Expérience aléatoire :

C'est une expérience dont on ne connaît pas à priori le résultat

  • Eventualités / Issues possibles :
Les éventualités d'une expérience aléatoire sont tous les résultats possibles obtenus à la fin de l'expérience
  • Univers :
C'est l'ensemble des éventualités 
  • Evènement :
C'est une partie de l'univers 
  • Evènement élémentaire :
C'est un évènement n'ayant qu'un seul élément dans un univers
  • Evènement certain :
C'est la partie pleine de l'univers 
  • Evènement impossible :
C'est un ensemble vide (∅)
  • Evènements disjoints / incompatibles :
Deux évènements sont disjoints s'ils n'ont pas de résultat en commun
  • Evènements contraires :
Deux évènements sont contraires s'ils sont disjoints et s'ils forment à eux deux la totalité des résultats possibles
  • Loi de probabilité et équirépartie :
si tous les P_i sont égaux. On dit aussi qu'il y a équiprobabilité. C'est le cas où tous les évènements élémentaires ont la même chance de se produire
  • Loi des grands nombres :
Pour une expérience donnée, associée à un modèle probabiliste, la distribution des fréquences obtenues sur des échantillons indépendants de taille n, se rapproche de la loi de probabilité lorsque n devient grand
  • Espérance de la loi de probabilité :
  • Variance :
  • Ecart-Type : S = √V
  • Une loi de probabilité étant définie sur E, la probabilité d'un évènement A est la somme des probabilités des résultats qui le réalisent.
  • p (A) = (nombre de cas favorables à A)/(nombre de cas possibles)
  • Toute probabilité est un réel tel que 0 < p < 1
  • La somme des probabilités de tous les évènements d'un même jeu est égale à 1
  • p (A∪B) = p (A) + p (B) - p (A∩B)
  • p (A barre) = 1 - p (A)

 

II / Calculs de probabilités 

 

1. Utiliser un arbre : avec le lancer 

 

Il y a 8 résultats possibles.

1er lancer 2ème lancer 3ème lancer
2                    2                   2


La pièce est équilibrée, on choisit la loi équirépartie.

Chaque résultat a une probabilité de 1/8.


A ‘'Obtenir Face au 3è lancer''

p (A) = (cas favorables à A)/(cas possibles) = 4/8 = 1/2

La loi est équirépartie.

B ‘'Obtenir 2x côté pile''

p (B) = 3/8


C ‘'Les deux côtés apparaissent''

p (C) = 6/8 = 3/4


C barre ‘'Un seul côté apparait''

p (C barre ) = 1 - p (C) 

p (C barre ) = 1 - 1/4
p (C barre) = 3/4

 

2. Utiliser un tableau 

 

Les jetons sont tirés au hasard : on choisit la loi équirépartie qui associe à chaque issue la probabilité 1/36.

Quelle est la probabilité sur deux jetons qu'on ait la même lettre ?

(nombre cas favorables)/(nombre cas possibles) = 6/36 = 1/6

 

  • E étant l'ensemble des résultats possibles d'une expérience aléatoire, définir une variable aléatoire c'est associer un nombre réel à chaque issue.

 

Exemple : On lance une pièce deux fois de suite.

E = {PP, FF, PF, FP}

A chaque issue on associe le nombre de fois où pile apparaît.
Les valeurs possibles sont donc 0, 1 et 2.

 

  • Soit X une variable aléatoire qui prend pour valeurs x_1,〖 x〗_2 et x_n. Lorsque à chaque valeur de x_1, on associe la probabilité de l'évènement X = x_i, on définit une nouvelle loi de probabilité sur les valeurs de la variable aléatoire appelée loi de probabilité de la variable aléatoire.

 

• L'espérance, la variance et l'écart-type d'une variable aléatoire X sont respectivement l'espérance, la variance et l'écart-type de sa loi de probabilité.


Exemple : Soit un jeu avec une pièce équilibrée. Si on a pile on perd 10€ et le jeu s'arrête. Si on a face et qu'on réobtient face, on gagne 20€ et le jeu s'arrête. Si on a eu pile au second lancer, on ne gagne rien et le jeu s'arrête.

 

S'agit-il d'un jeu équitable ?


E = {P, FF, FP}

X = -10€ (un seul Pile)
X = 0€ (un Face et un Pile)
X = 20€ (deux faces)

 

 


L'espérance de ce jeu est 0, donc il est équitable.

 

Fin de l'extrait

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