Les dérivées

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Dérivation

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Cette fiche de révisions sur la dérivation mise à disposition gratuitement par le professeur de maths de digiSchool vous permettra de savoir comment déterminer la dérivabilité potentielle d'une fonction et comment faire tous les calculs autour d'une fonction !


Voir le Formulaire de dérivées

 

I - Première partie : La fonction a une limite

On dit que la fonction f admet une limite qui vaut -2 lorsque x tend vers 1.
On dit aussi que lorsque x tend vers 1, f(x) tend vers -2. On écrit

II - Seconde partie : La limite 0 n'existe pas

On dit que la fonction n'admet pas de limite en 0. On doit distinguer deux cas :
  • Lorsque x tend vers 0 par valeurs strictement négatives, alors f(x) tend vers
  • Lorsque x tend vers 0 par valeurs strictement positives, alors f(x) tend vers

III - Troisième partie : La limite est infinie

Il n'y a aucun intérêt à étudier le comportement de f(x) pour x voisin de 0 par valeurs négatives. Cependant, lorsque x tend vers 0 par valeurs strictement positives, alors f(x) tend vers . On écrit alors
  • Soit f une fonction définie sur Df et soient a et a+h, deux réels tels que h 0. On appelle taux de variation de la fonction f entre a et a+h le quotient :
(h) =
Si (h) existe et est un réel, alors on dira que la fonction f est dérivable en a. Cette limite est notée f'(a) et on l'appelle le nombre dérivé de la fonction f en a.
  • Le taux de variation de la fonction f entre deux réels correspond au coefficient directeur de la droite reliant les points d'abscisses concernés sur la courbe de f.
  • Exemple : Est-ce que f est dérivable en 1 ? Si oui, quel nombre dérivé ?

1 - On calcule le taux de variation entre a = 1 et a + h = 1 + h

(h) =
(h) =
(h) =
(h) =
(h) =
(h) =
Si h ? 0, (h) = h + 2

2 - On calcule la limite de (h) quand h tend vers 0

On dira que 2 appartient à R, la fonction f est bien dérivable en 1. Son nombre dérivé f'(a) soit f'(1) = 2.
Le taux de variation (h) correspond au coefficient directeur de la droite AM.
Quand h s'approche de 0, la droite AM pivote autour de A qui est fixe.
La droite AM, une fois qu'elle a fini de tourner autour de A (quand h est proche de 0), s'arrête à une position limite. Cette droite est appelée tangente à la courbe représentant f au point d'abscisse 1.
y = 2x - 1
Comment déterminer l'équation de la tangente (au point d'abscisse a) ?
f'(a) = coefficient directeur de la tangente à la courbe Cf (au point d'abscisse a).
L'équation de cette tangente est de la forme y = f'(a) x + b
(On peut dire que f'(a) correspond au coefficient directeur, soit a)
Le point de coordonnées (a ; f(a)) est le seul point commun à Cf et à la tangente au point d'abscisse a.
Donc ces coordonnées vérifient l'équation (E).
Donc f(a) = f'(a) x a + b
b = f(a) - f'(a) x a
Donc (E) : y = f'(a) * x - f'(a) * a + f(a)
Donc (E) : y = f'(a) (x-a) + f(a)
Exemple : f(x) = x² Df = R
a = 1 f'(1) = 2
Donc y = f'(a) (x-a) + f(a)
Donc y = f'(1) (x-1) + f(1)
Donc y = 2 (x-1) + 1
Donc y = 2x - 2 + 1
Donc y = 2 x - 1
Exemple : On prend la fonction f(x) = x²
1/ On calcule le taux de variation de la fonction entre a et a + h.
(a R, a + h R tel que h 0, a + h 0)
(h) =
(h) =
(h) =
(h) =
(h) =
Si h 0, (h) = 2a + h
On peut donc déterminer la limite avec le nombre dérivé lorsque h tend vers 0 :
On dira donc que f'(a) [qui correspond au coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse a] est égal à 2a.
Vu que tout est valable pour n'importe quel réel a, on a décidé de créer une nouvelle fonction f'(x) à qui x associe f'(x). En gros, x -> f'(x)
Donc la fonction dérivée de la fonction x² c'est f'(x) = 2x.

IV - GRAPHIQUE SUR LES TANGENTES

Pour calculer une tangente, il suffit de faire y = f'(a) (x-a) + f(a).
Ensuite on regarde si la tangente coupe bien l'axe des ordonnées au bon endroit. Si c'est le cas, alors cela signifie que la fonction a bien été tracée.
Petit exemple avec la fonction x² :
Imaginons qu'on a les points -3 et 5.
On sait que f'(x) = 2x
Donc lorsque x vaut -3, f'(x) = -6 et lorsque x vaut 5, f'(x) = 10.
y = f'(a) (x-a) + f(a)
y = -6 (x+3) + f(-3)
y = -6x - 18 + 9
y = -6x - 9
La tangente à ce point doit couper l'axe des ordonnées en -9 !
y = f'(a) (x-a) + f(a)
y = 10 (x-5) + f(5)
y = 10x - 50 + 25
y = 10x - 25
La tangente à ce point doit couper l'axe des ordonnées en -25 !
  • Quand les f'(a) sont négatifs, la courbe est décroissante (visiblement).
  • Quand les f'(a) sont positifs, la courbe est croissante (visiblement).
En étudiant le signe de f'(x), on saura à quel moment la fonction sera croissante... ou bien décroissante (variations).
1/ Trouver les fonctions dérivées des fonctions de référence
  • Dérivée de
Pour tout a et h 0 tel que a + h 0 (a étant strictement positif)
(h) =
(h) =
(h) =
(h) =
(h) =
(h) =
a donc forcément R.
Donc on peut dire que la fonction x -> est dérivable sur (f'(x) = ).

1 - Application :

1 - Trouver le nombre dérivé de la fonction en 36.

f'(x) =
f'(36) =

2 - Trouver l'équation de la tangente à la courbe représentant la fonction au point d'abscisse 36.

Y = f'(a) (x-a) + f(a)
y = f'(36) (x-36) + f(36)
y = (x-36) + 6
y = x -3 + 6
y = x +3

3 - Trouver les variations de la fonction f ()

Etude du signe de f'(x) pour x ]0 ; + [
Pour tout x appartenant à ]0 ; + [ alors f'(x) = .
Et f'(x) > 0 donc f est croissante sur ]0 ; + [.
  • Trouver les fonctions dérivées des fonctions en général
Théorème : Soit u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I.
Soit f = u + v f est dérivable sur I.
Pour tout réel x de I, f' = u' + v'
Exemple : Soit f(x) =
Df = R*
Est-ce que f(x) est dérivable (si oui sur quel ensemble) et quelle est sa fonction dérivée  (f'(x) ) ?
On reconnaît que f(x) = u(x) + v(x)
Avec u(x) = et v(x) =
u et v sont dérivables respectivement sur R* et R.
Donc f est dérivable sur R R* = R*
Pour tout réel x appartenant à R*,
f'(x) = u'(x) + v'(x)
f'(x) =
Autre exemple avec la fonction k(t) = t³ + 1
On peut dire que k(t) = u(t) + v(t) + w(t)
Avec u(t) = t³ v(t) = ² et w(t) = 1
U est dérivable sur R et pour tout réel t, u'(t) = 3t²
V est dérivable sur R et pour tout réel t, v'(t) = -3t
W est dérivable sur R et pour tout réel t, w'(t) = 0
Donc k est dérivable sur R et pour tout réel t,
k'(t) = u'(t) + v'(t) + w'(t)
Finalement, k'(t) = 3t² -3t (+ 0 que l'on sous-entend).
f(x)
f'(x)
f est dérivable sur ...
k
0
R
x
1
R
n
R
R*
R*+
cos x
- sin x
R
sin x
cos x
R
Soit u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I :
fonction
fonction dérivée
fonction dérivable ...
u + v
u' + v'
I
uv
u'v + uv'
I
2uu'
I
I lorsque v(x) 0 sur I
I lorsque v(x) 0 sur I
Avec ces formules on peut donc définir n'importe quelle fonction dérivée et surtout :
  • une somme de deux fonctions
  • une multiplication de deux fonctions
  • une fonction multipliée par un réel
  • une fonction élevée au carré
  • l'inverse d'une fonction
  • et le quotient de deux fonctions
  • Variation de f et signe de la dérivée
Soit f est dérivable sur I.
  • f est croissante sur I si et seulement si f'(x) est positif pour tout réel x de I.
  • f est décroissante sur I si et seulement si f'(x) est négatif pour tout réel x de I.
  • f est constante sur I si et seulement si f'(x) est égal à 0.
  • Trois étapes à faire pour déterminer tout cela 
1/ Trouver la fonction dérivée de f(x) soit f'(x)
2/ Faire l'étude du signe de f'(x)
3/ Faire le tableau de variation avec f'(x) et f(x)
  • Extrémum local minimum et maximum
Soit f une fonction f définie sur un intervalle I et x un réel de I.
La fonction f admet un maximum (respectivement un minimum) local en x s'il existe un intervalle ouvert J inclus dans I tel que ce soit un maximum de f sur J.
Fin de l'extrait

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Les avis sur ce document

FannyJ18
5 5 0
20/20

Bonjour, voici une vidéo de cours de Terminale S sur les dérivées :) : https://www.youtube.com/watch?v=SxN5uJ7aZTU&list=PLxWYUus9YBzX_WzkknZX2S1q56sI4mCa2&index=9

par - le 21/04/2017
bihariangel
5 5 0
20/20

Bonjour , je voudrais demander est qu'il y a un cour video pour ce cour ??

par - le 17/04/2017
EvyR
5 5 0
20/20

Vraiment très bon cour mais en effet il manque quelques exemples pour une meilleur comprehension

par - le 13/01/2015
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