La Continuité

I - Fonctions continues

1 - Définition 1

On a la première définition suivante : soit une fonction définie sur un intervalle . Soit un élément de . On dit que est continue en si et seulement si .
Le contraire de «  ...
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Quiz de Mathématiques :

Quelle est l'inconnue dans une équation différentielle ?

  • A.Une fonction
  • B.Une tangente
  • C.Une valeur absolue
  • D.Un entier naturel
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Le contenu du document

I - Fonctions continues

1 - Définition 1

On a la première définition suivante : soit une fonction définie sur un intervalle . Soit un élément de . On dit que est continue en si et seulement si .
Le contraire de «  est continue en  » se dit : «  est discontinue en  ».
Par exemple, la fonction est continue en alors que la fonction partie entière inférieure de , notée , est discontinue en chaque entier relatif.

2 - Définition 2

Par extension de la première définition, on obtient la définition suivante : on dit que est continue sur l'intervalle si est continue en tout de .
On peut établir les remarques importantes suivantes :
  • pour que soit continue en , il faut d'abord qu'elle soit définie en
  • graphiquement, la fonction est continue si sa courbe est obtenue « sans lever le crayon »
  • les fonctions usuelles sont continues sur leur ensemble de définition

3 - Propriété

On peut admettre la propriété suivante : toute fonction obtenue par construction à partir des fonctions polynômes, trigonométriques, racine carrée ou exponentielle par addition, multiplication, division ou composition est continue sur tout intervalle où elle est définie.

II - Continuité et dérivabilité

On peut établir le théorème suivant : si est dérivable en , alors est continue en .
Démontrons ce théorème :
Si est dérivable en , alors on a :
avec
D'où :
Ainsi, on a bien démontré ce théorème.
Attention cependant : la réciproque de ce théorème est fausse !

III - Théorème de la valeur intermédiaire

1 - Théorème de la valeur intermédiaire

On a le théorème admis suivant : soit une fonction continue sur un intervalle . Soient et deux éléments de avec . Alors pour tout nombre compris entre et , il existe au moins un réel de l'intervalle tel que .
On doit noter que l'hypothèse de la continuité est indispensable pour appliquer ce théorème.

2 - Convention

On peut établir la convention énoncée ci-après : on conviendra que les flèches placées dans un tableau de variations traduisent le sens de variation de la fonction et sa continuité.

3 - Théorème de la bijection

Nous avons maintenant un nouveau théorème : soit une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle . Soient et deux éléments de . Alors pour tout réel compris entre et , il existe un unique réel dans l'intervalle tel que .
Démontrons ce théorème :
On suppose que est strictement croissante sur .
On a ainsi : .
Soit .
D'après le théorème de la valeur intermédiaire, il existe au moins un réel dans tel que .
On suppose qu'il existe et tels que et .
On a alors car est strictement croissante.
C'est en contradiction avec .
On en déduit donc que est unique.
La démonstration est terminée.

4 - Application

On souhaite maintenant appliquer ce que l'on a vu précédemment.
Montrons que l'équation suivante : admet une solution unique dans l'intervalle  :
On pose :
On sait que est une fonction polynôme, donc est continue sur .
Nous avons les égalités suivantes : et .
Or, appartient à l'intervalle .
Donc d'après le théorème de la valeur intermédiaire, l'équation admet au moins une solution dans l'intervalle .
Cette fonction étant dérivable sur , on a : .
Ainsi, sur .
On en déduit que est strictement décroissante sur .
D'après le théorème de la bijection, l'équation admet une seule solution.
Cette solution est donc bien dans l'intervalle .
Pour trouver cette solution, on utilise la méthode de la dichotomie :
donc
donc
donc
donc
donc
donc
On continue suivant la précision souhaitée...
On obtient ici : pour une précision au centième près.

5 - Théorème complémentaire

On peut établir le théorème complémentaire suivant : si est une fonction continue et strictement monotone sur l'intervalle , où désigne un réel ou (raison pour laquelle elle ne peut être définie en ), alors pour tout nombre compris entre et l'équation admet une solution unique dans l'intervalle .
Fin de l'extrait

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Les avis sur ce document

JunSuy
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20/20

Merci beaucoup pour toutes ces fiches !

par - le 26/05/2013

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