Intervalle de fluctuation et estimation

Intervalle de fluctuation et estimation

L'intervalle de fluctuation c'est grosso modo la marge d'erreur que l'on a lors de calculs de statistiques ou de probabilités. Vous risquez fort d'être confronté à une question sur ce chapitre de cours de maths lors de votre épreuve au Bac...

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L'intervalle de fluctuation c'est grosso modo la marge d'erreur que l'on a lors de calculs de statistiques ou de probabilités. Vous risquez fort d'être confronté à une question sur ce chapitre de cours de maths lors de votre épreuve au Bac puisqu'il fait partie du programme, alors ne négligez pas vos révisions de ce cours !

I - Introduction

A quoi servent les intervalles de fluctuation?
Lorsque l'on effectue un sondage, il est compliqué voire impossible d'interroger tout le monde, de ce fait on constitue un échantillon représentatif (c'est-à-dire que l'on interroge une partie de la population qui représente au mieux le reste des personnes non interrogée).
Cet échantillon est ensuite étendu à l'ensemble de la population. Cependant on se rend compte en choisissant un autre échantillon représentatif de la population que les résultats du sondage sont proches du précèdent échantillon mais restent différent. C'est pour cela que l'on va définir des intervalles pour représenter les résultats obtenus à partir d'un échantillon et étendu à une population.

II - Définition : « au seuil de 95%» ?

Ce pourcentage de 95 % représente la marge d'erreur. Donc on considère que le risque est de 5%.
Dire « au seuil de 95% » signifie que nous avons une marge d'erreur de 5%. C'est le seuil le plus utilisé mais il est tout à fait possible de définir un intervalle de fluctuation à 99%, et donc de réduire la marge d'erreur à 1%.

III - Intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence.

Soit X une variable aléatoire qui suit la loi binomiale B(n ; p) avec les conditions suivantes respectées :
  • p strictement compris entre 0 et 1
  • n supérieur ou égal à 30
  • n*p>5.
  • n*(1-p)>5.
On appelle intervalle de fluctuation:
Origine du nombre1.96:
il est relié a 95% de la manière suivant : si Z suit la loi normale centrée et réduite, alors 1,96 est l'unique réel tel que : P (-1,96< Z <1,96) = 0,95.

IV - Exercice:

« Efficacité d'un éthylotest » :

Un éthylotest est efficace à 80% pour identifier si quelqu'un est au-dessus ou non de la limite légale d'alcoolémie pour conduire. Déterminez un intervalle de fluctuation au niveau de confiance 95% de la fréquence des personnes pour qui le test affichera un résultat correct sur 300 contrôles.
Avant tout il faut identifier à quoi correspondent les informations données dans l'énoncé:
  • une taille de l'échantillon n :300
  • p=80%=0.8
  • un niveau de confiance 1-?=95%=0.95
Nous sommes dans le cas d'une variable aléatoire x qui suit une loi binomiale de paramètre n=300 et p=0.8
Ensuite on vérifie que les conditions nécessaires sont respectées :
  • n=300>30
  • n*p=240>5
  • n*(1-p)=60>5
Ensuite on applique la méthode :
On remplace les valeurs connues dans :
Ce qui nous donne:
D'où l'intervalle de fluctuation obtenu :
[0.754 ; 0.845]

Intervalle de fluctuation asymptotique :

Théorème :
Si la variable aléatoire X suit une loi binomiale de parmètre n et p pour tout réel ? ? [0 ; 1] on a :
Lim P((X/n) ? In)=1-?
n?+?
ou In =
On appelle alors variable fréquence la variable aléatoire f=X/n qui à tout échantillon de taille n associe la fréquence f obtenue.
Le rajout du mot « asymptotique » vient du passage à la limite de l'intervalle In. On peut alors assimilé la loi binomiale B(n,p) à une loi normale N(np,np(1-p))

Preuve :

On a :

D'après le théorème de Moivre-Laplace :

Ce qui équivaut à dire que Zn suit une loi Normale centrée réduite.
D'après les propriétés de la loi normale centrée réduite que pour tout ? ? [0 ; 1] il existe un unique réel strictement positif tel que :
Donc
Fin de l'extrait

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