Géométrie vectorielle dans l'espace

Géométrie vectorielle dans l'espace

I - Le vecteur

1 - Définition

L e vecteur est un élément caractérisé par sa norme, sa direction et son sens.
Ainsi le vecteur  :
Dans cette exemple, la direction du vecteur est oblique, son sens est « vers le haut ». Ces trois...
Géométrie vectorielle dans l'espace

Le contenu du document

I - Le vecteur

1 - Définition

L e vecteur est un élément caractérisé par sa norme, sa direction et son sens.
Ainsi le vecteur  :
Dans cette exemple, la direction du vecteur est oblique, son sens est « vers le haut ». Ces trois paramètres sont définis par les coordonnées du vecteur, on parle aussi de composantes de vecteurs.
Les coordonnées en mathématique peuvent s'écrire de plusieurs manières, il est préférable de se familiariser avec chacune d'entre elles. Les vecteurs sont les vecteurs unitaires de chaque dimension x, y et z.




La norme de notre vecteur est :

Remarque : Dans le plan on dit simplement que :
Donc on ignore la composante sur z.

2 - Vecteur défini par deux points 

Soit deux point A et B, repéré dans l'espace par des coordonnées, de la même manière que des vecteurs :






On peut alors, par exemple, écrire le vecteur de cette manière :

3 - Colinéarité entre deux vecteurs

On dit de deux vecteurs qu'ils sont colinéaires s'ils ont la même direction. Leurs sens et leurs normes dépendent d'un facteur de proportionnalité réel, qu'on peut appeler .


A insi, avec un vecteur et un vecteur identique au précédent, on écrit :
On dit que et sont proportionnel, en terme de vecteur ils sont colinéaire.
Exemple : Si alors directement, puisque est colinéaire à  :




Sur cette droite on a le vecteur , et les deux point A et B formant le vecteur , on voit que les deux vecteurs sont « confondus » ou « parallèles », le terme exact est bien colinéaires. On remarque qu'ils sont de même sens et de même direction, or ils ont des normes différentes.

4 - Des vecteurs coplanaires

Deux éléments coplanaires indiquent que ces deux éléments sont dans le même plan.
Si deux vecteurs et sont coplanaire, alors ils vérifient cette relation :


Avec un autre vecteur du même plan.


Exemple : Si les points A, B, C, et D sont coplanaires, alors on peut écrire :
Si cette relation est vrai, alors ces 3 vecteurs sont coplanaires, et par suite les points également.


On résout cette équation comme celle concernant la colinéarité.

5 - Orthogonalité entre deux vecteurs

Deux éléments sont dit orthogonaux quand ils forment d'une certaine manière un angle droit. On parle de perpendicularité lorsque les éléments entre en contact. Des vecteurs n'ayant pas de positions fixes la plus part du temps, on parle orthogonalité.
Si deux vecteurs sont orthogonaux alors le produit scalaire de ces vecteurs est nul.


On peut calculer le produit scalaire de et avec leurs coordonnées.



On peut aussi le calculer avec leurs normes et l'angle qu'ils forment.
Pour plus de précisions, voir un cours sur le produit scalaire.
Par définition, tout vecteurs colinéaires est orthogonal à tout vecteurs colinéaires à .

II - Relations et incidences géométriques

1 - Droites et vecteurs

Vecteur directeur

1 - Définitions



Un vecteur directeur d'une droite est un vecteur qui a la même direction que la droite. Il suffit d'une illustration pour bien comprendre :
On dit aussi que la droite d est support du vecteur .
Le vecteur est un vecteur directeur de la droite d.


Naturellement, tout vecteur colinéaire à sera un vecteur directeur à d.
Aussi, ici (ou ) est un vecteur directeur de D au même titre que .

2 - Droites parallèles


Pour expliquer ce point, partons d'un schéma :
Ici, les droite d et d' sont parallèles. On a vu précédemment que deux vecteurs « parallèles » étaient colinéaires, ainsi et sont colinéaires puisque nos vecteurs ont la même direction que nos deux droites, et que les deux droites sont parallèles.
On remarque que par définition, le vecteur est un vecteur directeur de d' et de d également. De même pour .

3 - Droites orthogonales

Découlant directement de « l'orthogonalité entre deux vecteurs », on peut déterminer l'orthogonalité de deux droites avec leurs vecteurs directeurs.


Un produit scalaire nul suffit à le prouver.
Attention, si deux droites sont orthogonales elles ne sont pas forcément en contact. Pour le savoir, il faut calculer leur intersection.

2 - Plans et vecteurs

Vecteur normal



Le vecteur normal fait partie des éléments qui peuvent définir un plan. Le vecteur normal forme un angle droit avec le plan, et est orthogonale à tout vecteur du plan.


Par extension, une droite support de ce vecteur, c'est-à-dire une droite dont le vecteur directeur est un vecteur normal au plan, sera orthogonale au plan ; voire perpendiculaire.
Par exemple, le vecteur (ci-dessus) est normal au plan. Il est aussi directeur de la droite d. De ce fait, la droite d est perpendiculaire à la droite d' et aussi au plan. Le vecteur est orthogonal à .
Analyse utile :
  • Si deux plans sont perpendiculaires, alors le produit scalaire de leurs vecteurs normaux est nul : Ils sont orthogonaux.
  • Si une droite est parallèle à un plan, alors son vecteur directeur est orthogonal au vecteur normal du plan. On en conclut aussi que le vecteur directeur de la droite est contenu dans le plan.
Les analyses vectorielles ne peuvent pas facilement préciser si les éléments sont en contact. C'est pourquoi on utilise des équations pour caractériser nos éléments géométriques de l'espace.
Il y a deux sortes de caractérisation que nous exploitons en terminale, les équations cartésiennes, et les représentations paramétriques.
(Les équations cartésiennes seront définies dans « produit scalaire dans l'espace »)

III - Représentations paramétriques

1 - Représentation paramétrique d'une droite

1 - Formule

Une droite n'est pas comme un vecteur, une droite est figée suivant un endroit précis de l'espace. Ainsi nous avons besoin d'un point pour connaître sa position exacte. Enfin, nous besoin de son vecteur directeur, pour savoir son orientation par rapport aux axes du repère de l'espace.
On dit alors qu'une droite est ici définie par un vecteur directeur et un point.
Soit un point volant sur la droite, un point de la droite précis , et un vecteur directeur de composantes .


  • un réel, appelé paramètre.



La preuve est simple, mais inutile à retenir :
On utilise la propriété de la colinéarité de deux vecteurs vue en début de cours. Les deux vecteurs étant directeurs de la droite ici paramétrée.
L'idée est que le point M prend toutes les valeurs de la droite sur lequel il est posé. En effet, « une infinité de point suivant une unique direction » : c'est une droite !

2 - Exemple


Ces deux représentations paramétriques définissent deux droites, l'une à pour paramètre t, et l'autre k. On peut déterminer beaucoup de propriétés dès à présent.
  • Sont-elles parallèles ? ? Leurs vecteurs directeurs sont-ils colinéaires ?
  • Sont-elles confondues ? ? Sont-elles parallèles et ont-elles un unique point d'intersection ? (si confondues : il y a intersection pour tout )
  • Si elles sont sécantes, quelles est leur point d'intersection ? ? Le système peut-il être résolu ?
  • Sont-elles orthogonales ? ? Le produit scalaire des deux vecteurs directeurs est-il nul ?
Pour trouver l'intersection, on résout ce système de deux inconnus, composante par composante, c'est-à-dire ligne par ligne.
Pour démarrer : sur etc...
Il suffit de résoudre ce système de trois équations pour 2 inconnues. On trouvera alors les valeurs de t et de k. En injectant ces valeurs dans leurs équations respectives, on trouve les valeurs en x, y et z du point d'intersection.

2 - Représentation paramétrique d'un plan

De même que pour la droite, le plan a besoin d'un point pour se situer dans l'espace, ainsi que de deux vecteurs non colinéaires, qu'on appelle vecteurs générateurs du plan. En effet, leurs existences vont générer l'orientation du plan.
Nous avons donc deux vecteurs, ce qui nous ajoute deux paramètres, qu'on nomme ? et ?, des réels :




La preuve : On utilise la formule de coplanarité de deux vecteurs vue en début de cours. Soit donc trois vecteurs non colinéaires d'un même plan, avec un point volant M.
Les applications se font de la même manière que les droites, en résolvant le système et trouvant les valeurs de ?, ? et autres paramètres ou en étudiant les vecteurs identifiables.
Nous verrons plus tard que les équations cartésiennes simplifient certains systèmes.
Mathias R. pour digiSchool
Fin de l'extrait

Vous devez être connecté pour pouvoir lire la suite

Télécharger ce document gratuitement

Donne ton avis !

Rédige ton avis

Votre commentaire est en attente de validation. Il s'affichera dès qu'un membre de Bac S le validera.
Attention, les commentaires doivent avoir un minimum de 50 caractères !
Vous devez donner une note pour valider votre avis.

Nos infos récentes du Bac S

Communauté au top !

Vous devez être membre de digiSchool bac S

Pas encore inscrit ?

Ou identifiez-vous :

Mot de passe oublié ?