Géométrie vectorielle

Géométrie vectorielle

Le professeur de maths de digiSchool met à votre disposition cette fiche de révision sur les opérations sur les vecteurs dans l'espace. Ce chapitre de géométrie vectorielle fait partie du programme de Terminale S et vous serez probablement...

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Quiz de Mathématiques :

Quelle est l'inconnue dans une équation différentielle ?

  • A.Une fonction
  • B.Une tangente
  • C.Une valeur absolue
  • D.Un entier naturel
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Le contenu du document

Le professeur de maths de digiSchool met à votre disposition cette fiche de révision sur les opérations sur les vecteurs dans l'espace. Ce chapitre de géométrie vectorielle fait partie du programme de Terminale S et vous serez probablement interrogés dessus lors de l'épreuve du Bac.

Important:

Toutes les opérations possibles sur les vecteurs dans un plan sont les même que celles sur les vecteurs dans l'espace, il est donc possible de reprendre les même notions (par exemple la relation de Chasles) vu pour les calculs dans le plan et de les étendre à l'espace.

I - Caractérisation d'une droite ou d'un plan

Dans l'espace une droite est caractérisée par les coordonnées de deux points distincts ou par la donnée d'un vecteur directeur et d'un point.
Dans l'espace un plan est caractérisé par la donnée de 3 points non alignés ou d'un point et de deux vecteurs directeurs.

Propriété :

Soient un point A et deux vecteurs et non colinéaires. Alors le plan passant par A et dirigé par et peut être définit de la manière suivante: Soit M l'ensemble des points de l'espaces tel que A M= ? + ? , avec ? et ? deux réels.

Rappel:

Deux vecteurs et sont non colinéaires si l'on ne peut pas établir la relation =K avec K un nombre réel.

II - Vecteurs colinéaires et coplanaires

Dire que des vecteurs sont coplanaires est un prolongement de la colinéarité dans un espace.

1 - La colinéarité

Définition:

La colinéarité entre deux vecteurs signifie que l'on peut établir un lien linéaire entre eux. C'est-à-dire que deux vecteurs et sont colinéaires si l'on peut établir la relation =K avec K un nombre réel entre eux.
Le vecteur nul est colinéaire à tous les plans.
Pour retenir :
Dire que deux vecteurs sont colinéaires est équivalent à dire que deux droites sont parallèles.

Théorème pour montrer que deux vecteurs sont colinéaires

Soit (a ; b) et (c; d) deux vecteurs aux coordonnées non nulles. et sont colinéaires si et seulement si ad-cb = 0.

2 - Coplanaire

Définition:

Trois vecteurs sont dits coplanaires si l'un des vecteurs peut s'écrire comme combinaison linéaire des deux autres. C'est-à-dire que les trois vecteurs , et sont coplanaires si l'on peut établir la relation = ? + ? , avec ? et ? deux réels.
(Tous les points appartenant au même plan sont coplanaires entre eux, et l'on peut également établir que si plusieurs points A, B, C et D sont coplanaires alors les vecteurs AB et CD sont coplanaires).

Utilisation:

La notion de vecteurs coplanaires est importante pour:
  • Pour prouver qu'un point appartient à un plan : par exemple le point D appartient au plan ABC si les vecteurs, et sont coplanaires.
  • Prouver qu'une droite est parallèle à un plan : par exemple la droite (AB) est parallèle au plan (CDE) si, et sont coplanaires.

Important:

Si on a deux plans déterminés par le même couple de vecteurs (non colinéaires) alors ces deux plans sont parallèles.

Méthode : Montrer que trois vecteurs sont coplanaires

Théorème:
Trois vecteurs :
sont coplanaires s'il existe ? et ? tel que le système suivant est vérifié:

III - Exemple :

Montrons que 4 points sont coplanaires.
Soit 4 points A,B,C et D de coordonnées respectives:
  • A( 0;? 1;7)
  • B( 3;? 4;7)
  • C(1;? 3;5)
  • D(3 ;4 ;14)
On calcule les coordonnées des vecteurs AB, AC et AD

Rappel sur le calcul d'un vecteur à partir de deux points :

Si les points A et B ont pour coordonnées:
  • A(xA;yA)
  • B(xB;yB)
Alors le vecteur a pour coordonnées:
A présent on regarde si les vecteurs obtenus sont coplanaires, c'est-à-dire que l'on voudrait la relation suivante AB = ? AC + ? AD avec ? et ? deux réels.
D'après le théorème si on arrive à trouver un ? et un ? tel que le système si dessous est vérifié alors on peut conclure que les vecteurs sont coplanaires:
Après résolution du système on obtient que:
  • ?=21/10
  • ?=3/10
L'équation est vérifiée donc les vecteurs AB, AC, AD sont coplanaires.
On peut également en déduire que les points A, B, D et D sont coplanaires.
Fin de l'extrait

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Les avis sur ce document

maxy
5 5 0
20/20

parfait !! j ai beacoup aime merci beaucoup !!!!!

par - le 02/05/2016
zombie
5 5 0
20/20

Vraiment superbe

par - le 16/03/2016
anadie
3 5 0
12/20

simple à comprendre il faudrait peut être d'avantage un peux plus d'exemple

par - le 09/11/2014

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