Généralités sur les fonctions - Mathématiques - Seconde

Généralités sur les fonctions - Mathématiques - Seconde

Ce chapitre de mathématiques sur les généralités des fonctions fait partie du programme de Seconde. Grâce à ce cours gratuit rédigé par un professeur, vous assimilerez facilement les notions importantes de ce chapitre divisé en 5 parties.

En premier lieu, vous découvrirez quelques définitions concernant les intervalles de , puis ce que sont l'image et l'antécédent d'une fonction. Vous verrez ensuite comment modéliser une fonction avec une expression algébrique, un tableau de valeurs ou encore un graphique. Puis vous aborderez les variations et extremum d'une fonction (croissante, décroissante...) à travers les notions de maximum et minimum, et enfin apprendrez à résoudre graphiquement des équations et inéquations.

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Généralités sur les fonctions - Mathématiques - Seconde

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I. LES INTERVALLES DE ℝ

• L’ensemble des nombres réels, noté , est l’ensemble des abscisses des points d’une droite graduée.

• Soit a et b 2 réels tels que ab.
On appelle intervalle fermé [; b] l’ensemble des réels x tels que axb.
On appelle intervalle ouvert ]; b[ l’ensemble des réels x tels que a < x < b.
Il existe également des intervalles ouvert d’un côté et fermé de l’autre :
            - ]; b] est l’ensemble des réels x tels que a < xb.
            - [; b[ est l’ensemble des réels x tels que ax < b.

• Soit a un réel.
On note [; +∞[ l’ensemble des réels x tels que ax.
On note ]; +∞[ l’ensemble des réels x tels que a < x.
On note ]-∞ ;a] l’ensemble des réels x tels que xa.
On note ]-∞ ;a[ l’ensemble des réels x tels que x < a.
-∞ se lit « moins l’infinie » et +∞ se lit « plus l’infini ».

 

II. FONCTIONS, IMAGE ET ANTECEDENTS

• On définit une fonction f sur un ensemble D en associant à tous les réels x de D un unique réel y.
D est appelé ensemble de définition de la fonction f
y est l’image du nombre x par la fonction f. On la note f(x) (se lit « f de x »)

• Soit f une fonction définie sur D et a un réel. On appelle antécédent de a par f tout réel x appartenant à D tel que f(x) = a.

• Soit f une fonction définie sur D. Dans le plan muni d’un repère, l’ensemble des points M(; f(x)) pour tout xÎD est appelé courbe représentative graphique de la fonction f. Elle est souvent notée Cf

 

III. MODELISATION D’UNE FONCTION

Une fonction peut être modélisée, par exemple, par :

• Son expression algébrique.
Exemple : pour tout x
Î0 ;+∞[, f(x) =

•  Un tableau de valeurs

x

-5

0

2

3

8

f(x)

12

3

5

-4

6

 

 

Exemple :

-5 a pour image 12 et 2 est un antécédent de 5 par f.

• Sa représentation graphique

 

IV. VARIATIONS ET EXTREMUM D’UNE FONCTION

• Une fonction f est dite strictement croissante sur un intervalle I si quels que soient les réels a et b de I tels que a < b on a f(a) < f(b).

• Une fonction f est dite strictement décroissante sur un intervalle I si quels que soient les réels a et b de I tels que a < b on a f(a) > f(b).

• On appelle tableau de variations d’une fonction, le tableau résumant les variations de la fonction sur son ensemble de définition.

• On dit que M est un maximum d’une fonction f sur un intervalle I, si pour tout xI, f(x) ≤ M et il existe cI tel que f(x) = M. Il s’agit donc de la plus grande valeur atteinte par la fonction f sur I.

• On dit que m est un minimum d’une fonction f sur un intervalle I, si pour tout xI,  f(x) ≥ m et il existe cÎI tel que f(x) = m. Il s’agit donc de la plus petite valeur atteinte par la fonction f sur I.

• Un réel A est un extremum d’une fonction f sur un intervalle I s’il est soit un maximum soit      un minimum sur cet intervalle.

 

V. RESOLUTIONS GRAPHIQUES D’EQUATIONS ET D’INEQUATIONS


• Méthode

Résolution graphique des équations du type f(x) = k


• Méthode

Résolution graphique des inéquations du type f(x) < k ou f(x) > k


• Méthode

Résolution graphique des inéquations du type f(x) < g(x)

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