Fonctions sinus et cosinus - Mathématiques - Terminale S

Fonctions sinus et cosinus - Mathématiques - Terminale S

Découvrez ce cours de Mathématiques niveau Terminale S, rédigé par notre professeur, consacré aux fonctions sinus et cosinus.

Vous verrez tout d'abord les définitions des fonctions sinus et cosinus, puis vous aborderez les différentes propriétés de ces fonctions (dérivabilité, parité, périodicité). Par la suite, vous vous intéresserez à l'étude des fonctions sinus et cosinus sur un intervalle. Enfin, un exemple d'application vous est proposé pour que vous puissiez facilement comprendre ce cours de Mathématiques.

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Fonctions

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I. Définition

La fonction cosinus est la fonction définie sur R par x → cos(x)

La fonction sinus est la fonction définie sur R par x → sin(x)

II. Propriété

1. Dérivabilité

Rappel

Une fonction réelle (comme sinus ou cosinus) d'une variable x est dérivable en un point ou sur un intervalle réel ouvert non vide si elle est dérivable en chaque point de cet intervalle.

Les fonctions cosinus et sinus sont dérivables sur R :

  • La dérivée de sin(x) : sin'(x) = cos(x)
  • La dérivée de cos(x) : cos'(x) = -sin(x)

2. Parité

Rappel

Une fonction est dite :

  • Paire : Si pour tous les x appartenant à l'intervalle défini on a f(-x) = f(x). Graphiquement cela signifie que la courbe représentative de la fonction est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
  • Impaire : Si pour tous les x appartenant à l'intervalle défini on a f(-x) = -f(x). Graphiquement cela signifie que la courbe représentative de la fonction est symétrique par rapport à l'origine du repère.

La fonction cosinus est une fonction paire : cos(-x) = cos(x)

La fonction sinus est une fonction impaire : sin(-x) = -sin(x)

3. Périodicité

Rappel

On dit qu'une fonction est périodique de période T si pour tout réel x ϵ R on a f(x+T) = f(x).

Les fonctions cosinus et sinus sont des fonctions périodiques de période T = 2π.

III. Etude des fonctions cosinus et sinus sur l'intervalle

La fonction sinus sur l'intervalle [0 ; π]

Tableau de variation :

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Représentation graphique :

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La fonction cosinus sur l'intervalle [0; π]

Le tableau de variation :

c144a17e-26d1-4ec5-8a66-09626f59139d

Représentation graphique :

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IV. Exemple d'application

Soit la fonction f(x) = cos (2x)+1.

On veut étudier la parité de f et montrer que f est périodique de période T = π, puis en déduire l'intervalle I de f ou l'on étudiera le sens de variation de la fonction.

1. Parité

On sait que la fonction cosinus est paire, on regarde donc si f(-x) = f(x)

F(-x) = cos(2(-x)) + 1 = cos(-2x) + 1 = f(x)

Donc la fonction est paire. Cela a pour conséquence de nous permettre de réduire le domaine de définition à [0,π].

2. Périodicité

On sait que la fonction cosinus est périodique de période T = 2π, on regarde si f(x + T) = f(x) pour T = π.

f(x + π) = cos(2(x + π)) + 1 = cos(2x) + 1 = f(x)

Donc la fonction f est périodique de période π. On peut donc réduire le domaine d'étude à un intervalle de longueur π puisque ses variations se répètent avec une période π.

3. Intervalle de confiance

On en déduit que l'intervalle de confiance approprié pour l'étude de la fonction f(x) = cos(2x) + 1 est I = [0 ; π/2]

En effet, grâce à la périodicité on pouvait réduire l'intervalle à [-π/2 ; π/2] et grâce à la parité on peut encore le réduire à I = [0 ; π/2].

4. Sens de variation de f

Pour connaître les variations de f il suffit de connaître le signe de sa dérivée.

On calcule la dérivée de f :

Rappel : la dérivée de cos(U) est -U'sin(U). Ici on a U = 2x.

D'où f'(x) = -2sin(2x)

On cherche les valeurs pour lesquelles la ƒonction dérivée s'annule :

f'(x) = 0 si -2sin(2x) = 0 donc si sin(2x) = 0. Or on sait que la fonction sinus s'annule en 0 donc on a sin (2x) = 0 si 2x = 0 donc si x = 0 ;

La fonction f' ne s'annule pas sur l'intervalle ]0 ; π/2[ .

On a donc le tableau de variation suivant :

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Fin de l'extrait

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Les avis sur ce document

lola4141
5 5 0
20/20

Bonne fiche pas mal tout est bien expliquer à mon gout

par - le 25/05/2016
SeibaUrufu
2 5 0
8/20

Bien expliqué, mais il faudrait changer les tableaux pour le grand 3, nous avons 2 fois le même tableaux de signes, celui de sinus.

par - le 19/02/2016

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