Fonction sinus et cosinus

Fonction sinus et cosinus

Les fonctions sinus et cosinus sont très importantes dans les calculs géométriques. Notre professeur de maths vous invite donc à consulter sa fiche de révision qui vous explique comment bien maîtriser ces fonctions avec plusieurs exemples...

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Fonctions

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Les fonctions sinus et cosinus sont très importantes dans les calculs géométriques. Notre professeur de maths vous invite donc à consulter sa fiche de révision qui vous explique comment bien maîtriser ces fonctions avec plusieurs exemples d'exercices, des rappels, etc !

I - Définition

La fonction cosinus est la fonction définie sur R par x ? cos(x)
La fonction sinus est la fonction définie sur R par x ? sin(x)

II - Propriété:

1 - Dérivabilité :

Rappel:

Une fonction réelle (comme sinus ou cosinus) d'une variable x est dérivable en un point ou sur un intervalle réel ouvert non vide si elle est dérivable en chaque point de cet intervalle.
Les fonctions cosinus et sinus sont dérivables sur R:
  • La dérivée de sin(x) : sin'(x)=cos(x)
  • La dérivée de cos(x) : cos'(x)=-sin(x)

2 - Parité:

Rappel:

Une fonction est dite :
  • Paire : Si pour tous les x appartenant à l'intervalle défini on a f (-x)=f (x). Graphiquement cela signifie que la courbe représentative de la fonction est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
  • Impaire : Si pour tous les x appartenant à l'intervalle défini on a f (-x)= -f(x). Graphiquement cela signifie que la courbe représentative de la fonction est symétrique par rapport à l'origine du repère.
La fonction cosinus est une fonction paire : cos(-x)=cos(x)
La fonction sinus est une fonction impaire : sin(-x)=-sin(x)

3 - Périodicité

Rappel:

On dit qu'une fonction est périodique de période T si pour tout réel x ? R on a f(x+T)=f(x)
Les fonctions cosinus et sinus sont des fonctions périodiques de période T= 2?.

III - Etude des fonctions cosinus et sinus sur l'intervalle

La fonction sinus sur l'intervalle [0 ; ?]

Tableau de variation:
Représentation graphique:

La fonction cosinus sur l'intervalle [0; ?]

Le tableau de variation:
Représentation graphique:

IV - Exemple d'application

Soit la fonction f(x) = cos (2x)+1.
On veut étudier la parité de f et montrer que f est périodique de période T= ?.
Puis en déduire l'intervalle I de f ou l'on étudiera le sens de variation de la fonction.

1 - Parité

On sait que la fonction cosinus est pair, on regarde si f(-x)=f(x)
F(-x)=cos(2(-x))+1=cos(-2x)+1=f(x)
Donc la fonction est pair. Cela a pour conséquence de nous permettre de réduire le domaine de définition à [0,?].

2 - Périodicité

On sait que la fonction cosinus est périodique de période T=2?, on regarde si f(x+T)=f(x) pour T= ?.
f(x+ ? )=cos(2(x+ ? ))+1=cos(2x)+1=f(x)
Donc la fonction f est périodique de période ?. On peut donc réduire le domaine d'étude à un intervalle de longueur ? puisque ses variations ce répète avec une période ? .

3 - Intervalle de confiance

On en déduit que l'intervalle de confiance approprié pour l'étude de la fonction f(x)=cos(2x)+1 est I=[0 ; ?/2]
En effet grâce à la périodicité on pouvait réduire l'intervalle à [-?/2 ; ?/2] et grâce à la parité on peut encore le réduire à I= [0 ; ?/2].

4 - Sens de variation de f

Pour connaitre les variations de f il suffit de connaitre le signe de sa dérivée.
On calcule la dérivée de f :
Rappel : la dérivée de cos(U) est -U'sin(U). Ici on a U=2x.
D'où f'(x)=-2sin(2x)
On cherche les valeurs pour lesquels la fonction dérivée s'annule :
f'(x)=0 si -2sin(2x)=0 donc si sin(2x)=0 . Or on sait que la fonction sinus s'annule en 0 donc on a sin (2x)=0 si 2x=0 donc si x=0 ;
La fonction f' ne s'annule pas sur l'intervalle ] 0 ; ?/2[ .
On a donc comme tableau de variation:
Fin de l'extrait

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Les avis sur ce document

lola4141
5 5 0
20/20

Bonne fiche pas mal tout est bien expliquer à mon gout

par - le 25/05/2016
SeibaUrufu
2 5 0
8/20

Bien expliqué, mais il faudrait changer les tableaux pour le grand 3, nous avons 2 fois le même tableaux de signes, celui de sinus.

par - le 19/02/2016

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