Fonction logarithme népérien - Mathématiques - Terminale S

Fonction logarithme népérien - Mathématiques - Terminale S

digiSchool Bac S met à votre disposition ce cours de Mathématiques, rédigé par notre professeur, sur la fonction logarithme népérien.

Dans ce cours, vous découvrirez les différentes définitions et propriétés de la fonction logarithme népérien : ln. Vous étudierez également les limites du logarithmé népérien, les fonctions composées, puis la fonction logarithme décimal : log.

Téléchargez gratuitement ci-dessous ce cours de maths sur le logarithme népérien, chapitre au programme de Terminale S !

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I. Généralités

On a vu dans le chapitre sur la fonction exponentielle que celle-ci était continue et strictement croissante sur ℝ. De plus, b5a96b2e-f44a-489c-b039-fffdbad04089_w168. Par conséquent, d'après le théorème de la bijection, pour tout b > 0, il existe un unique réel a tel que ea = b

Définition 1 : On note, pour tout réel strictement positif b, ln b, logarithme népérien de b, l'unique solution de l'équation ex = b

La fonction ln est la fonction qui a tout réel x strictement positif associe y = ln x

Remarque : On dit que la fonction ln est la fonction réciproque de la fonction exponentielle. Les courbes de ces deux fonctions sont symétriques par rapport à la droite d'équation y = x.

Propriété 1 :

1. y = ln x où x > 0 ↔︎ ey = x

2. ln1 = 0 et ln e = 1

3. ∀x > 0, eln x = x

4. ∀x ∈ ℝ, ln(ex) = x

5. La fonction ln est définie et continue sur ℝ

Ces propriétés découlent directement de la définition de la fonction ln.

Propriété 2 : La fonction ln est dérivable sur ]0;+∞[ et, pour tout x ∈ ]0;+∞[ ln'(x) = 1/x

Preuve : Soit b un réel strictement positif.

1eeb9b2f-8e08-426c-bd4c-3edebb7f30d8_w161

5d987032-e9e9-4783-b56b-42c316681e79_w353

3afabdaa-e312-4947-b7e1-60362c510f89_w153

La fonction ln est continue donc 8aceafcd-7e1b-48f7-847f-a2d30f47ce44_w82

Par conséquent, d34a2bb4-545b-456f-8f7d-7387c04a921e_w69

e796f56a-44f2-4a10-bba9-84d64e35576c_w450
efcf98b4-003d-4544-b20d-25416bc01f4c_w235
59f121e4-08f2-4579-99f5-0830dc7d37ca_w133
ed4f979a-0244-465f-b128-2441fa6196be_w471

Propriété 3 : La fonction ln est strictement croissante sur ]0;+∞[

df4d9674-8e35-4991-b04c-b2e9b46931ec_w257

Propriété 4 :
1. ∀x > 0, ln x < 0 ↔︎ 0 < x < 1
2. ∀x > 0, ln x > 0 ↔︎ x > 1

Preuve : La fonction ln est strictement croissante sur ]0;+∞[ et ln1=0

Propriété 5 :
1. Pour tous les réels a et b strictement positifs, ln a = ln b ↔︎ a = b
2. Pour tous les réels a et b strictement positifs, ln a < ln b ↔︎ a < b

Preuve : Toute fonction ln est strictement croissante sur ]0;+∞[

Remarque : Il faut absolument définir au préalable sur quelle partie de ℝ les inéquations sont définies.

Exemples : On veut résoudre ln[(x - 5)(3 - x)] ≤ ln[(x - 5)(-x + 2)]
Pour que le premier logarithme soit défini, il faut donc que (x - 5)(3 - x) > 0 soit x ∈ ]3 ; 5[
De la même manière, le second logarithme n'est défini que pour x ∈ ]2 ; 5[
L'inéquation n'est définie que pour x ∈ ]3 ; 5[
D'après la propriété, l'inéquation est équivalente à :

(x - 5)(3 - x) ≤ (x - 5)(-x + 2) ↔︎ (x - 5)[(3 - x) - (-x + 2)] ≤ 0
(x - 5)(3 - x) ≤ (x - 5)(-x + 2) ↔︎ (x - 5) × 1 ≤ 0
(x - 5)(3 - x) ≤ (x - 5)(-x + 2) ↔︎ x ≤ 5
Par conséquent, la solution est ]-∞ ; 5] ∩ ]3 ; 5[.

II. Propriétés algébriques

Propriété 6 : Pour tous réels a et b strictement positifs, ln(ab) = ln a + ln b

Preuve : On peut écrire eln a = a, eln b = b et eln(ab) = ab

Par conséquent, eln a × eln b = eln(ab)

or eln a × eln b = eln a + ln b

Donc eln a + ln b = eln(ab)

D'où ln(ab) = ln a + ln b.

Exemple : ln10 = ln(2 × 5) = ln2 + ln5

Propriété 7 :
d618fcb5-ce17-42a9-b5c2-cd572a4b27b8_w191

Preuve :

da64e335-767d-4a17-b4d0-e2bccbf9a48f_w306
4f698128-4f7b-49d2-bc49-b25f3634df55_w107

419c806e-5ef7-4ba3-b9f2-ea5b0e33d8cd_w179

Propriété 8 : Pour tout réel a > 0 et tout entier relatif n, ln(an) = n ln a

Preuve : Montrons tout d'abord la propriété pour tout n ∈ ℕ.
Initialisation : Si n = 0. ln a0 = ln1 = 0 = 0 × ln a
La propriété est vraie au rang 0.
Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang n. Alors ln(an) = n ln a
Donc
ln(an+1) = ln(a × an) = ln a + ln(an) = ln a + n ln a = (n + 1)ln a
La propriété est donc vraie au rang (n + 1)
Conclusion : La propriété est vraie au rang 0. En la supposant vraie au rang n, elle est encore vraie au rang suivant. Donc pour tout n ∈ ℕ, ln(an) = n ln a

Prenons maintenant un entier relatif n strictement négatif. Cela signifie donc que -n ∈ ℕ.
9312597a-a706-4a5f-891a-6c8f2b70c491_w254

Exemple : ln 1000 = ln 103 = 3 ln 10

Propriété 9 :
201ce195-2969-4ba8-a17f-ae69f2a92e97_w342

Preuve :
e58929b3-bd0a-4614-921a-fc95a55db53f_w226

251d48b6-2ff0-4e86-b776-7cb1a27dd87c_w154

Propriété 10 :
c57af3e9-6405-412f-8d42-d97762f8ac8a_w195

0a79d88a-f83e-4ee8-8155-61312f045c25_w189

8aa33a99-5b75-4548-8de3-fd151c65bbf2_w141

III. Limites

Propriété 11 :
a3645008-a567-420f-8eb2-a22724e27e14_w249

Preuve : Soit A un réel strictement positif quelconque.
Si x > eA, puisque la fonction ln est strictement croissante sur ]0;+∞[, ln x > ln eA c'est-à-dire ln x > A.

5e22c752-66d8-4b00-80dc-997e2d38c147_w409

39a1fee7-3990-4e17-9634-8ec5a826bb7e_w233

c2dcabec-29f4-4aa2-a4b7-5a00c37732f7_w533

Propriété 12 :
e4a608bb-9fde-457e-9bbe-b58c47e5a55d_w92

Preuve :
dfef3955-9f55-45d1-83d2-545caed75f5b_w340

Propriété 13 :

fbd12ad4-9f97-449c-8be5-5f4910080d8f_w437

IV. Ln et fonctions composées

Propriété 14 : Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I. Alors la fonction ln u est définie et dérivable sur I et 9a20ee7f-2ed3-4c9c-8756-cf6635cb537e_w179

Exemple : Considérons la fonction ƒ définie par ƒ(x) = ln(4x² + 3x - 1).
La fonction f est définie là où 4x² + 3x - 1 > 0.

6f0776f5-0b31-4aa5-b5a8-704ed7fbfa6f_w474

6e0e580e-b718-4c71-9a75-a4a008b33645_w40671a455e9-dac6-4d00-bddd-a71e1af6eda3_w163

V. Fonction logarithme décimal

Définition 2 : On appelle fonction logarithme décimal la fonction notée log définie sur ]0;+∞[ par cb5cd003-8bdb-4e8c-b245-6e0a2cd8f8bd_w81

Conséquence : Pour tout entier relatif n, on a 9d1593b4-ae05-4c44-b482-e25de5fb56a5_w173

Propriété 15 :

1. log 10 = 1 et log 1 = 0

2. La fonction log est défninie, dérivable et strictement croissante sur ]0;+∞[

3. Pour tous réels a et b strictement positifs et n entier relatif quelconque :

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Utilisation de la fonction log :

  • pH : ph = -log[H3O+] où [H3O+] est exprimé en mol.L-1
  • Echelle de Richter : magnitude = log I/I0 où I est l'intensité du séisme et I0 une intensité de référence
  • Décibels : puissance du son = 10 log I/I0 où I est l'intensité du son mesuré et I0 une intensité de référence.
Fin de l'extrait

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