Fonction exponentielle - Mathématiques - Terminale S

Fonction exponentielle - Mathématiques - Terminale S

Notre professeur vous propose un cours de Mathématiques sur la fonction exponentielle, chapitre au programme de Terminale S.

Dans ce cours, vous verrez tout d'abord la définition de l'exponentielle et ses propriétés fondamentales. Vous vous intéresserez par la suite à la notation ex, puis à l'étude de la fonction exponentielle. Vous étudierez également la résolution d'équation et d'inéquations, et terminerez ce cours de Maths sur l'exponentielle et les fonctions composées.

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I. Généralités

1. Définition

Théorème 1 (Définition de l'exponentielle)

Il existe une unique fonction f définie et dérivable sur ℝ telle que a0faee43-0ad7-46f7-9eb3-03876e2f9538 pour tout x et 90e9b0b8-c758-4458-bcdc-a038a37baff7.

Cette fonction est appelée exponentielle et est notée "exp". exp(x) se lit "exponentielle de x" ou "exponentielle x".

Preuve : L'existence d'une telle fonction est admise.

Montrons qu'il n'existe pas 2 fonctions admettant ces propriétés.

Tout d'abord, montrons qu'une telle fonction ne s'annule pas.

On appelle φ la fonction définie sur ℝ par 78e50ebc-5c0c-4b8a-8da7-257185b614d7

La fonction f étant dérivable sur ℝ, par produit la fonction φ l'est aussi, et 3f508066-e6c3-4ec6-8c3e-f490347b0236

(Car a0faee43-0ad7-46f7-9eb3-03876e2f9538)

Donc d6dce48c-32ba-4f9c-91c6-e9cdcacfc545. La fonction φ est par conséquent constante.

Puisque 90e9b0b8-c758-4458-bcdc-a038a37baff7, on en déduit que b53e44b8-910e-49e2-9e5d-1e4a052f166c.

Donc, pour tout x, e3ad67de-a35f-418b-8a14-b00bf8762e05. La fonction f ne s'annule par conséquent jamais.

Considérons maintenant une autre fonction g dérivable sur ℝ, vérifiant 495aba6d-845b-4eb1-bf59-593d97a794dc et 90e9b0b8-c758-4458-bcdc-a038a37baff7.

On appelle h la fonction définie sur ℝ par 1decedeb-a7b9-415b-847a-3dd892673e22 (f ne s'annulant pas, h est bien définie).

h est dérivable sur ℝ comme quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s'annule pas.

36a95e66-fadd-47dd-85b4-bc14ad8955d1

La fonction h est donc constante. De plus, 6765bf3a-9080-4a04-b241-3f436074ce76. Donc, pour tout x, 051cdb61-84fa-4903-88f8-8ebd1aae0b96.

Ce qui signifie donc que e3742a3c-4f39-489a-99ce-e0574d51658c. La fonction f est bien unique.

2. Propriétés fondamentales

Propriété 1 : Pour tout a et b appartenant à ℝ, on a cb627930-3477-436c-b054-c4e730c6099a.

Preuve : On considère la fonction f définie sur ℝ par 206b76b4-c858-4594-afb8-9695f3be6810.

Cette fonction est dérivable sur ℝ comme produit de fonctions dérivables.

6d9fe10f-1d1d-4ba7-95f9-12fa8698b495

C'est-à-dire f277b2f2-0335-4273-881a-4c196308510f

La fonction f est donc constante. Or, 977d5741-1d11-4227-90f3-14ebb776eb16.

Pour tout x, on a donc bc579b95-9196-40fd-8c5c-4d4ee8c6a7b2, en particulier 19f29e78-d8a4-41f7-b814-434bc6a66741.

Propriété 2 : La fonction exponentielle est strictement positive.

Preuve : Pour tout x, on peut écrire 97643ce2-632a-478f-b540-3e3daf4a6d68.

D'après la propriété précédente, on a : 

0413d8c2-75e2-49b4-9477-8d7a4026120a

(D'après la preuve du théorème-définition, elle ne s'annule pas).

Propriété 3 : La fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ.

Preuve : On sait que, pour tout x43da8ff8-1025-4cca-a963-fc5b130eb1a9. Or, 195d2d55-3b4e-48e8-8160-93be31159e2d, donc 28ac3dfd-486c-4ec4-82d1-aecc4e9ab4d0.

Propriété 4 (Opérations) : Soit a et b deux réels et n un entier relatif.

  • 76d7ed8d-b5ad-4f51-a693-cfccf4ebe78b
  • 502dc742-a04a-4208-9ffa-7915aea2b8d5
  • 292e4af9-0902-492c-9ba5-f165dacac56f

Preuve :

0bca011a-14ca-4257-baa6-d5dcfec112ce

Donc d165aee0-98f2-4ed8-b624-cec77225607f

e1338505-48e7-457c-90b6-d8a9d2570ae6

Considérons tout d'abord que n ∈ ℕ​. Démontrons la propriété par récurrence.

Initialisation : La propriété est évidemment vraie pour n = 0

Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang n : 3feeac56-7758-4e2b-b004-357d437e6361

82108f20-212d-4ca0-953b-e4b616de4a85

Conclusion : La propriété est vraie au rang 0. En la supposant vraie au rang n, elle l'est encore au rang suivant. Donc, pour tout n ∈ ℕ, 3feeac56-7758-4e2b-b004-357d437e6361.

Considérons maintenant un entier relatif n strictement négatif. Alors, -n ∈ ℕ.

c19883e3-fba8-483c-be3f-66213e71ccbb

Exemples :

a8efd66d-3c60-4d16-bc59-51fabb627937

II. Notation ex

Notation : exp(1) est noté e (une valeur approchée est 2,7182).

D'après la propriété 4, on a, pour tout n ∈ ℤ, en prenant c3760dc7-f3ca-43f7-924c-71a62520747d

Définition 1

On généralise cette écriture pour tous les réels x : exp(x) = ex

Propriété 5 :

  • ​La fonction exp(x) → ex est dérivable sur ℝ et sa dérivée est elle-même.
  • Soit a et b deux réels. On a :
    aae59e4e-2c17-4874-b00c-6bd95a763353
  • Soit n un entier relatif et a un réel, ena = (ea)n
  • e0 = 1 et pour tout réel x, ex > 0

III. Étude de la fonction exponentielle

Propriété 6 :

341fb607-f140-412d-bff7-23f0a57aecd5

Preuve : Montrons que pour tout x ≥ 0, exx

On appelle f la fonction définie sur ℝ par 0cd1d17a-ed66-47e5-8ea8-eb78b1ecfb54

f est dérivable sur ℝ comme somme de fonctions dérivables et 80c6bbf9-5827-4d3c-a890-582002839136.

Or, pour tout x ≥ 0, puisque la fonction exponentielle est croissante, exe0 = 1. Donc, pour tout x ≥ 0, 12368fae-ef01-4461-adbb-4f77410a210c.

La fonction f est donc croissante sur ℝ+ et 8b7fd915-67a0-4225-a60a-5e11491bddf4.

Par conséquent, pour tout x ≥ 0, exx

Or, dc4066d8-75de-4ae3-90e4-3c7149100b9e

D'après le théorème des croissances comparées :

fb34bf32-ab9d-47ff-9c28-0fc04744c028

Car 4861b9c7-9224-46a8-836c-bdc66ad6cc2d

e87a3e06-e469-4de8-9801-119030129816
48138dc6-e24e-4c00-83b0-c34280633423

Propriété 7 :

1. Pour tout n ∈ ℕ*, 84c95fe1-34c2-4fa4-85d2-a66f2d8f53e1 et 06c91d72-189e-414c-ae6b-a68b504e09d7

2. On a aussi 0c9ee75c-e321-4836-9222-8c114528cf61

Preuve :

1. On ne prouvera que la propriété pour n = 1.

On considère la fonction f définie sur ℝ+ par 70281a45-1c59-4135-a9b6-eefd50a142f2.

La fonction f est dérivable et e72f4082-fa5c-49ef-8039-8f2e4177207c.

On a montré, dans la preuve précédente, que f' était croissante sur ℝ+ et que 6cceb8e4-75b8-4847-8daf-19775e63fd93.

Par conséquent, pour tout x ≥ 0, c371e3e4-768e-48f6-8947-a011c69c79da et f est croissante sur ℝ+.

Or, 90e9b0b8-c758-4458-bcdc-a038a37baff7. Cela signifie donc que pour tout x ≥ 0, 2a968ed9-50d8-4f40-bcf7-5c1f02abbf8a et par conséquent, c4e6ddd7-9103-4fa7-b9ff-0d07668fb1ad.

Or, 9d2a0126-2a31-44e1-a43b-14ea05994702. D'après le théorème de comparaison, on a : 

111f78ee-2890-4e27-af07-d0847d7a6f4f
8ce72f84-c9d4-4bc9-be40-a398fc12dad1

2. 97aaaf39-f27b-4de4-bbeb-a0f833904459​ puisque la fonction exponentielle est dérivable sur ℝ donc en 0 en particulier.

 

IV. Résolution d'équation et d'inéquation

Propriété 8 : Soit a et b deux réels.

1. ea = eb ↔︎ a = b

2. ea < eb ↔︎ a < b

Exemples :

1. Résoudre e-x+4 = ex+1

Cela équivaut à -x + 4 = x + 1 soit 3 = 2x et donc x = 1,5.

La solution de l'équation est 1,5.

2. Résoudre e2x+4 < e5

Cela signifie donc que 2x + 4 < 5 soit 2x < 1 d'où x < 1/2

La solution de l'inéquation est l'intervalle ]-∞ ; 0,5]

V. Exponentielle et fonctions composées

Propriété 9 : Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I. Alors, la fonction f définie par d044d257-9485-4e20-b9b4-ca8f8aa1644a est dérivable sur I et a877132f-bcca-4dbc-8b71-5d9ea8c359a9

Exemple : Considérons la fonction f définie sur ℝ par d23d6647-71f4-49de-8543-4a7050658081

La fonction u : x → x2 + 3x - 4 est dérivable sur ℝ. Donc f est également dérivable sur ℝ et 6001ddf4-4065-48ae-a9ef-e9733a449bd1.

Puisqu'une exponentielle est toujours positive, le signe de f'(x) ne dépend donc que de celui de 2x + 3 .

8452b7ee-da44-4440-88ce-5fc649e55159
244c6dea-122c-4804-9426-6cf93e6930ed

En utilisant les limites du terme de plus haut degré :

bbb59e36-ca79-4b10-ab89-7dab31acf2a4

fdedab1a-06f8-4374-a080-604526e0f97e

Donc 9cb2748b-4390-467e-91bf-e27e8dc778fe

0461736f-8105-451a-9e81-e6416fce83ef

ee3a350a-7856-4ee8-a049-0d63232f1b82

Donc 4447940b-02db-475b-aa50-04f6874da776

Fin de l'extrait

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Les avis sur ce document

Aurore44
5 5 0
20/20

Bonjour, merci d'avoir créer cette fiche récapitulative qui est très utile. Par contre, il aurait aussi été pratique d'y intégrer à la fin une partie méthode avec les réponses aux grandes questions de types bac que l'on est susceptible de rencontrer lors des exercices. Par ailleurs, je voulais vous informer d'un problème que j'ai eu lors au moment de l'impression de la fiche ; les caractères spéciaux ne se sont transmis ils sont restés en langage informatique. 

par - le 03/12/2016
SwordLord
5 5 0
20/20

Bonjour, Ce cours est très bien rédiger, net et claire. Juste un peu dommage que les ROC ne soit pas clairement signaler. J'aurais juste une question dans la fonction exponentiel parfois il y a un petit carré avec (f()) dedans. A quoi correspond-t-il? Merci de me repondre s'il vous plait.

par - le 26/11/2014

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