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La Fonction Exponentielle

La Fonction Exponentielle

La fonction exponentielle est une notion de mathématiques qu'il vous faut maîtriser puisqu'elle est au programme de Maths au baccalauréat scientifique. Notre professeur vous vient en aide en mettant à votre disposition cette fiche de révision...

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Fonctions

Quiz de Mathématiques :

Quelle est l'inconnue dans une équation différentielle ?

  • A.Une fonction
  • B.Une tangente
  • C.Une valeur absolue
  • D.Un entier naturel
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Le contenu du document

La fonction exponentielle est une notion de mathématiques qu'il vous faut maîtriser puisqu'elle est au programme de Maths au baccalauréat scientifique. Notre professeur vous vient en aide en mettant à votre disposition cette fiche de révision avec des explications et des exemples pour bien comprendre !

On appelle équation différentielle une équation dont l'inconnue est une fonction et où interviennent les dérivées successives de cette fonction. Résoudre une équation différentielle, c'est chercher toutes les fonctions qui vérifient cette équation.
Une donnée supplémentaire du type est appelée condition initiale. Dans ce chapitre, on va s'intéresser aux équations différentielles du type : , autrement dit : .

I - Équation différentielle de la forme avec

1 - Théorème 1

On peut dire que si est une fonction dérivable sur telle que et , alors ne s'annule pas sur .
Démontrons ce premier théorème :
Soit une fonction dérivable sur vérifiant et .
Soit une fonction définie sur par .
On peut ainsi dire que et que est dérivable sur .
Pour tout réel , on a : car .
On en déduit que est constante sur .
Ainsi, pour tout , on a .
Or, comme , on en déduit que .
Cette dernière égalité implique que ne s'annule pas sur .

2 - Théorème 2

On peut dire qu'il existe une unique fonction dérivable sur telle que et .
Démontrons ce deuxième théorème :
On considèrera l'existence admise (voir la méthode d'Euler pour plus d'infos).
Il faut maintenant montrer l'unicité.
On suppose qu'il existe deux fonctions et dérivables sur telles que , , et .
On considère la fonction .
On peut dire que est dérivable sur (car quotient de fonctions dérivables).
Ainsi, on a : et pour tout réel .
On peut donc dire que est constante sur .
Et pour tout réel , donc .
Cela implique donc que .
Il y a donc bien une unique fonction et la démonstration est terminée.

3 - Définition

On appelle fonction exponentielle l'unique fonction définie et dérivable sur qui vérifie et . De plus, on la note .
Autrement dit, on a :
  • est définie et dérivable sur
  • pour tout réel
  • pour tout réel
  • pour tout réel

II - Propriétés algébriques de la fonction exponentielle

1 - Propriété fondamentale

Pour tous réels et , on a la propriété fondamentale suivante :
Démontrons cette propriété fondamentale :
On pose .
Cette fonction est définie et dérivable sur .
Pour tout réel , .
Donc est constante sur .
De plus, et .
Comme est constante sur , on a .
On en déduit donc bien l'égalité suivante : .

2 - Conséquences

On observe ainsi plusieurs conséquences de cette propriété fondamentale :
  • Soient et deux réels. Alors on a :
Donc on en déduit :
  • Soient réels .
Alors on a :
Si les sont tous égaux à , alors on en déduit, pour tout entier  :
  • Pour tout réel , on a : , d'où :
Comme pour tout réel , on en déduit :

3 - Nouvelle notation

On a : et pour , .
On va donc noter :
Avec :
Soit .
Par convention, on pose donc :
On obtient ainsi les propositions suivantes :
  • pour tout réel

III - Représentation graphique

D'après tout ce qu'on a vu précédemment, on peut dire que :
  • est strictement croissante sur car sa dérivée est positive

1 - Limites aux bornes

Les deux bornes en question sont : et .
On a la première limite suivante :
Démontrons cette première limite :
Pour tout positif, on pose .
Cette fonction est dérivable sur avec : .
Ainsi, est croissante sur .
Or, .
Donc pour tout de , .
On en déduit que .
Donc on a bien la limite énoncée ci-dessus.
On a la deuxième limite suivante :
Démontrons cette deuxième limite :
On effectue ici un changement de variable.
On pose : , et on obtient :
On a donc bien démontré la deuxième limite.
On peut déduire d'après cette deuxième limite que la courbe de la fonction admet une asymptote horizontale d'équation .

2 - Équations de tangentes

On peut établir deux équations importantes :
  • tangente au point d'abscisse 0 :
  • tangente au point d'abscisse  :
On obtient ainsi le graphique suivant, avec en bleu la courbe de la fonction exponentielle, en vert la tangente au point d'abscisse et en rouge celle au point d'abscisse  :


 

3 - Autres limites à connaître

Il y a quelques autres limites concernant la fonction exponentielle qu'il faut connaître :
Démontrons cette première limite :
On reconnaît ici qu'on a un taux de variation : .
Dans notre cas, et .
On applique la définition du taux de variation et on obtient bien .
Démontrons cette deuxième limite :
On pose .
Cette fonction est dérivable sur , avec .
Or, et est croissante sur .
Ainsi on en déduit que pour tout de .
Donc on a : pour tout de .
Cela implique donc : pour tout de .
On obtient bien la limite énoncée plus haut.
Démontrons cette troisième limite :
On effectue un changement de variable en posant .
On obtient ainsi :
La démonstration est bien terminée.

4 - Dérivée d'une fonction avec exponentielle

Soit une fonction définie et dérivable sur un intervalle de .
Alors on peut dire que est dérivable sur et on a : .
Prenons quelques exemples pour illustrer les propos précédents :
  • implique :
  • implique :
  • implique :
Fin de l'extrait

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Les avis sur ce document

Aurore44
5 5 0
20/20

Bonjour, merci d'avoir créer cette fiche récapitulative qui est très utile. Par contre, il aurait aussi été pratique d'y intégrer à la fin une partie méthode avec les réponses aux grandes questions de types bac que l'on est susceptible de rencontrer lors des exercices. Par ailleurs, je voulais vous informer d'un problème que j'ai eu lors au moment de l'impression de la fiche ; les caractères spéciaux ne se sont transmis ils sont restés en langage informatique. 

par - le 03/12/2016
SwordLord
5 5 0
20/20

Bonjour, Ce cours est très bien rédiger, net et claire. Juste un peu dommage que les ROC ne soit pas clairement signaler. J'aurais juste une question dans la fonction exponentiel parfois il y a un petit carré avec (f()) dedans. A quoi correspond-t-il? Merci de me repondre s'il vous plait.

par - le 26/11/2014

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