Estimation

L'estimation fait partie des notions de statistiques et probabilités à savoir absolument pour répondre aux exercices de maths de l'épreuve du Bac. Notre professeur vous invite donc à consulter sa fiche de révision pour vous rafraîchir la mémoire...

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L'estimation fait partie des notions de statistiques et probabilités à savoir absolument pour répondre aux exercices de maths de l'épreuve du Bac. Notre professeur vous invite donc à consulter sa fiche de révision pour vous rafraîchir la mémoire sur la loi de Bernoulli par exemple !

I - Définition

Soit X une variable aléatoire qui suit une loi Binomiale de paramètre n et p ( B (n,p)) et soit Fn=X/n ou p est la proportion inconnue d'apparition d'un caractère.
  • Alors, l'intervalle [Fn-1/?n ;Fn+1/?n] contient pour un n assez grand la proportion p avec une probabilité supérieure ou égale à 0.95.
  • On appelle f la fréquence d'apparition du caractère sur un échantillon de taille n. Alors l'intervalle [f-1/?n ;f+1/?n]. Cet intervalle est appelé « intervalle de confiance de p au niveau de confiance 0.95 »

II - Preuve :

Soit :
Si on pose f(p)=1.96?(p*(1-p)) pour tout p?[0 ;1] et f dérivable sur ]0 ;1[ et f'(p)=1.96*(-2p+1)/(2?p(1-p) est du signe de -2p+1. On en déduit le tableau de variation :
Pour tout p?[0 ;1], 0
D'où p> Fn-1/?n et p>Fn+1/?n donc :

III - Exercice :

On veut estimer une proportion sur 90 élèves de terminale 6 seulement sont abonnés à un journal d'information. Déterminons un intervalle de confiance au niveau 95% de la proportion de la population qui est abonné à un journal d'information.
On identifie les variables :
  • La taille de l'échantillon n=90
  • Niveau de confiance 1-?=95%=0.95
  • La fréquence observée= 6/90=0.67
On vérifie les conditions :
  • n=90 >30
  • n*f=6>5
  • n*(1-f)=84>5
Les conditions sont vérifiées on applique la méthode :

Et on obtient :
[-0.04 ; 0.17]
Or on rappelle qu'une proportion ne peut pas être négative ( on a p?[0 ;1]) donc on peut réduire l'intervalle à :
[0 ; 0.17]
Fin de l'extrait

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