Equations différentielles - Mathématiques - Terminale S

Equations différentielles - Mathématiques - Terminale S

On va utiliser dans ce chapitre les notions déjà vues dans le chapitre concernant les fonctions exponentielles afin de pouvoir résoudre des équations différentielles simples de différentes formes.

I - Équations différentielles de la forme :

1...

Equations différentielles - Mathématiques - Terminale S

Quiz de Mathématiques :

Quelle est l'inconnue dans une équation différentielle ?

  • A.Une fonction
  • B.Une tangente
  • C.Une valeur absolue
  • D.Un entier naturel
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Le contenu du document

On va utiliser dans ce chapitre les notions déjà vues dans le chapitre concernant les fonctions exponentielles afin de pouvoir résoudre des équations différentielles simples de différentes formes.

I - Équations différentielles de la forme :

1 - Théorème

On peut dire qu'on a le premier théorème suivant : les solutions de l'équation différentielle de la forme sont les fonctions définies par est une constante réelle.
Démontrons ce premier théorème :
Soit .
Ainsi, on obtient : .
Donc est bien solution de .
Soit une solution de .
On pose .
Ainsi, on obtient :
C'est-à-dire : car .
On en déduit que est constante, d'où : .
On a donc : .
Autrement dit, on obtient : .
La démonstration est bien terminée.

2 - Exemple

Prenons un exemple pour illustrer ce théorème :
On a l'équation à résoudre : , donc dans ce cas.
La solution générale de l'équation est : .

3 - Remarque

On peut établir la remarque suivante : il existe une seule solution à l'équation différentielle lorsqu'on sait en plus que quand . Dans cette situation (avec ce qu'on appelle une condition initiale), il suffit de déterminer la valeur de la constante .

II - Équations différentielles de la forme :

On peut remarquer que la fonction  est une solution de l'équation .

1 - Théorème

On peut dire qu'on a le deuxième théorème suivant : les solutions de l'équation différentielle de la forme sont les fonctions de la forme est solution de l'équation différentielle .
Démontrons ce deuxième théorème :
Soit une solution de .
Alors on a : .
Soit une fonction définie par .
Ainsi, on obtient : .
De plus, est solution de l'équation différentielle .
En effet, on a : .
Soit une solution de l'équation différentielle .
Soit définie par .
On a alors : .
Et est solution de .
En effet, on a : .
La démonstration est bien terminée.
En bref, on a la solution générale suivante : .

2 - Exemple

Prenons un exemple pour illustrer ce théorème :
On a l'équation à résoudre : , donc et dans ce cas.
La solution générale de l'équation est : .

3 - Remarque

On peut établir la remarque suivante : comme précédemment, il existe une seule solution à l'équation différentielle lorsqu'on sait en plus que quand . Là encore, il suffit juste de déterminer la valeur de la constante .
Fin de l'extrait

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