Dérivation et trigonométrie - Mathématiques - Terminale S

Dérivation et trigonométrie - Mathématiques - Terminale S

digiSchool bac S mathématiques vous propose ce cours sur la dérivation et la trigonométrice.
A l'intérieur de ce cours tu pourras découvrir plusieurs rappels sur la dérivation ainsi que des formules complémentaires, des fonctions sinus et cosinus et pour finis des tableaux récapitulatifs !
Téléchargez gratuitement ce cours de maths terminale S sur la dérivation

Dérivation et trigonométrie - Mathématiques - Terminale S

Le contenu du document

 

 

Rappels sur la dérivation

Définition 1: Soient f une fonction définie sur un intervalle I et a un réel de I .

Cette limite l est appelée nombre dérivé de f en a et on note f’(a) = 1.

 

Propriété 1 (équation de la tangente en un point) : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et Cf sa courbe représentative dans un repère .
Une équation de la tangente à Cf au point d'abscisse a est : y = f'(a)(x - a) + f(a)

 

Propriété 2 : Soient f et g deux fonctions dérivables sur un intervalle I . On a alors :

  1. f + g )’ = f’ + g’
  2. (k f)’ = k f’ k ∈ ℝ
  3. (f g)’ = f’ g + g’ f

 

Formules complémentaires

Dérivée de √u

Propriété 3 : Soit u une fonction définie, dérivable et strictement positive sur un intervalle I .

Exemple : On considère la fonction f définie sur ℝ par 

La fonction u par u(x) 4x² + 1 est définie, dérivable et strictement positive sur ℝ et u’(x) = × 2x = 8x.

Preuve : Soit u une fonction définie, dérivable et strictement positive sur un intervalle I . Alors la fonction f définie sur I par  est dérivable sur I et

  pour tout x ∈ I.

Soient a un réel appartenant à I et h un réel tel que a + h appartienne également à I. On calcule le taux d'accroissement : 

Dérivée de un n ∈ ℤ*

Propriété 4 : Soient n un entier relatif non nul et u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I, ne s’annulant pas sur I quand n < 0.

La fonction f définie sur I par f (x) = (u(x))n est dérivable sur I et on a

f’(x) = nu’(x) (u(x))n−1 pour tout x ∈ I .

 

Exemple : On considère la fonction f définie sur ℝ par f (x) = (4x² + 1)3 .

La fonction u définie sur ℝ par u(x) = 4x² + 1 est dérivable sur ℝ et u’(x) = 8x.

Donc f est dérivable sur ℝ et f’(x) = 3 × 8x × (4² + 1)² = 24x(4x² + 1)².

Preuve : On suppose que la fonction u n’est pas la fonction nulle.

Montrons par récurrence que la propriété est vraie pour n entier naturel non nul.

Initialisation : Pour n = 1 (u1 )’ = u’ = 1 × u’ × (u)1−1 .   La propriété est vraie au rang 1.

Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang n : (u(x)n )’ = nu’(x) (u(x))n−1

(u(x)n+1)’ = (u(x)n × u(x))’

= (u(x)n)’ × u(x) + (u(x))n × u’(x)

nu’(x) (u(x))n−1 × u(x) + (u(x))n × u’(x)

nu’(x) (u(x))n (u(x))n × u’(x)

(n + 1)u(x) (u(x))n

La propriété est donc vraie au rang n + 1.

Conclusion : La propriété est vraie au rang 1. En la supposant vraie au rang n elle est encore vraie au rang suivant. Par conséquent, pour tout n ∈ ℕ∗ on a (u(x)n)’ = nu’(x) (u(x))n−1

On considère maintenant que n est un entier relatif strictement négatif. Il existe donc un entier naturel m non nul tel que n = −m.

Finalement, en reprenant n = −m on a bien

(u(x)n)’ = nu’(x) (u(x))n−1

 

Dérivée de x → u(ax + b)

Propriété 5 : Soient u une fonction dérivable sur un intervalle I , a et b deux réels et J un intervalle tel que pour tout x ∈ J , ax + b ∈ I .

La fonction f définie sur J par f (x) = u(ax + b) est dérivable sur J et f’(x) = au’(ax b).

Preuve : Si a = 0 : Pour tout x ∈ J on a f(x) = f(b).

La fonction f est donc constante et f’(x) = 0 = au’(ax b).

Si a ≠ 0 : Pour tout h ∈ ℝ tel que a(x h) b ∈ J on a :

Propriété 6 (Hors programme): Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I et g une fonction définie et dérivable sur J telle que g(x) ∈ I pour tout x ∈ J .

La fonction f ◦ g est dérivable sur J et ( f ◦ g )’(x) = g’(x) × f’(g(x)) pour tout x ∈ J.

Cette propriété généralise les propriétés précédentes.

 

Les fonctions sinus et cosinus

Propriété 7 :

  1. Les fonctions sinus et cosinus sont continues sur ℝ.
  2. Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur ℝ et, pour tout x ∈ ℝ :

sin’(x) = cos(x)                         cos’(x) = − sin(x)

  1. La fonction sinus est impaire : ∀x ∈ ℝ : sin(−x) = − sin(x)
  2. La fonction cos est paire : ∀x ∈ ℝ : cos(−x) = cos(x)
  3. Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période 2π :

∀x ∈ ℝ          sin(x + 2π) = sin x          et           cos(x + 2π) = cos(x)

Propriété 8 : Pour tout x ∈ ℝ on a :

  1. sin(x + π) = − sin(x)      et      cos(x + π) = − cos(x)
  2. sin(x − π) = + sin(x)      et      cos(x − π) = − cos(x)

Propriété 9 : 


Preuve : On utilise les taux d’accroissements des fonctions sinus et cosinus en 0.

 

Propriété 10 : Soit a et b deux réels.

La fonction f : x → sin(ax + b) est dérivable sur ℝ et f’(x) = a cos(ax + b).

La fonction g : x → cos(ax b) est dérivable sur ℝ et f’(x) = −a sin(ax + b).

 

Tableaux récapitulatifs

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