Définitions et éléments de base de la droite et du plan

Définitions et éléments de base de la droite et du plan

Notre professeur de mathématiques met à votre disposition une véritable fiche de révision synthétisant et récapitulant pour vous toutes les définitions et éléments de base à connaître absolument sur la droite et le plan avant de vous attaquer à...

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Notre professeur de mathématiques met à votre disposition une véritable fiche de révision synthétisant et récapitulant pour vous toutes les définitions et éléments de base à connaître absolument sur la droite et le plan avant de vous attaquer à la géométrie dans l'espace. Prenez donc le temps de télécharger et étudier cette fiche pour bien maîtriser les notions de droite et plan !

I - Définition

Deux points distincts de l'espace définissent une unique droite.
Trois points non alignés de l'espace définissent un unique plan.
Remarque : si deux points distincts A et B sont contenus dans un plan, alors ce plan contient la droite (AB).

II - Relations

1 - Éléments coplanaires

« Coplanaire » est le fait d'être dans le même plan de l'espace.
Par exemple, trois points non alignés forment un plan et sont donc coplanaires. Les droites pouvant être tracées entre ces points sont elles aussi contenues dans le même plan.

2 - Positions relatives d'une droite et d'un plan

Etant donné une droite D et un plan P, trois cas seulement sont possibles :
  • D est contenue dans P.
  • D et P n'ont aucun point commun.
  • D et P se coupent en un point.
Soit D une droite et P un plan de l'espace
- Dire que D est parallèle à P implique que D est contenue dans P ou que D et P n'ont aucun point commun.
- Dire que D et P sont sécants implique que D et P ont exactement un point commun. Ce point est leur intersection.

3 - Positions relatives entre deux plans

Etant donné deux plans P1 et P2 distincts, deux uniques cas se présentent:
  • P1et P2 n'ont aucun point commun.
  • P1et P2 sont sécants et leur intersection est une droite.
Soit P1et P2 deux plans.
- Dire que P1et P2 sont parallèles implique que P1et P2 sont confondus ou que P1 et P2 n'ont aucun point commun. Ils n'ont pas d'intersection.
- Deux plans non parallèles sont des plans sécants. Leur intersection est donc une droite.

4 - Positions relatives entre deux droites

Soit D et D ' deux droites de l'espace.
- Dire que D et D ' sont sécantes signifie que D et D ' ont un unique point commun.
- Dire que D et D ' sont parallèles signifie que :
D et D ' sont confondues ou D et D ' sont coplanaires et n'ont aucun point commun.
Or, dans l'espace deux droites qui n'ont aucun point commun ne sont pas forcément parallèles.

III - Parallélisme

1 - Droites parallèles

Propriété :

Deux droites parallèles à une même troisième droite sont parallèles entre elles.
Attention: Si deux droites sont parallèles dans l'espace, toutes droites coupant l'une d'elles ne coupent pas forcément l'autre.
- Si P est un plan contenant une droite D et si D' est une droite parallèle à D, alors D est parallèle à P.

2 - Plans parallèles

- Si deux plans sont parallèles à un même troisième plan, alors ils sont parallèles entre eux.
- Si deux plans sont parallèles, tout plan qui coupe l'un coupe l'autre, et les droites d'intersection sont parallèles.
Deux plans P1 et P2 sont parallèles si et seulement si P2 contient deux droites sécantes parallèles à deux droites de P1.

Théorème du toit:

Si deux plans sécants P et P' contiennent deux droites parallèles D et D' alors leur droite d'intersection est parallèle aux deux premières.

IV - Orthogonalité

1 - Droites orthogonales

Soit D et D ' deux droites de l'espace :
Dire que D et D ' sont orthogonales signifie que toutes autres droites parallèle à D sont perpendiculaires à toutes autres droites parallèles à D'.

2 - Droites et plans orthogonaux

Soit D une droite et P un plan :
D est dite orthogonale à P lorsque D est orthogonale à toutes les droites de P.

3 - Plans orthogonaux

Soit P et P' deux plans distincts :
Par extension de 2), si toutes droites contenues dans P sont orthogonales à toutes droites contenues dans P', alors les deux plans sont orthogonaux.

Éléments à connaître:

(on suppose que ces formes géométrique sont en contact dans l'espace)
  • L'intersection de deux droites est un point, si et seulement si les droites ne sont pas confondues.
  • L'intersection d'une droite et d'un plan est un point, si et seulement si la droite n'est pas contenue dans le plan.
  • L'intersection de deux plans est une droites, si et seulement si les plans ne sont pas confondus ou parallèle.
  • L'intersection d'une sphère et d'une droite peut être un point (droite tangente) ou deux points, en admettant que la droite rentre en contact avec la sphère.
  • L'intersection d'une sphère et d'un plan peut être un point (plan tangent) ou un cercle, en admettant que le plan rentre en contact avec la sphère.
Les notions de parallélismes et orthogonalités seront très utiles dans le chapitre « géométrie vectorielle »
Mathias R. pour digiSchool
Fin de l'extrait

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Les avis sur ce document

zouzou59
5 5 0
20/20

Euh lorsque l'on ouvre le fichier, les figurent n'apparaissent pas. Pouvez vous remédier à ce problème

par - le 04/01/2015

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